PhD Position

Update (11 November 2015): The University of Auckland has drastically changed its PhD scholarship system. If you are at a New Zealand university and want to pursue a PhD with me, email me. If your GPA is sufficiently high, you might automatically get a scholarship. If you are overseas, not all is lost; however, international scholarships are now harder to come by.

Original post. This is to advertise a PhD position in mathematics at the University of Auckland in New Zealand. The scholarship is funded by a Marsden Fund Grant and offers an annual stipend of NZ$25,000 (tax free), plus tuition fee, for three years of PhD study.

The successful applicant will be working under my supervision on a topic selected in real algebraic geometry or one of its closely related areas.

Prerequisites

  • Masters degree or equivalent in Mathematics with excellent grades;
  • very good knowledge in at least one of the following mathematical fields: algebraic geometry, commutative algebra, convex geometry, optimization, functional analysis;
  • strong commitment to study the wider mathematical context of the project;
  • experience in the use of mathematical software is desirable;
  • good command of English. While this is required on its own, you will need to provide evidence (overall IELTS score of at least 6.5 or equivalent) as required by the University of Auckland if your application is successful.

Application

The application should include a cover letter, an academic CV, a transcript of records, a copy of the master or diploma thesis and the name of a referee (ideally the former supervisor).

Students in the final stage of their studies who do not yet hold a degree may apply anyway and should instead of the thesis provide an excerpt, draft, summary, or similar.

Please send me all application documents and inquiries by email.

Deadline:  11 October 2014

Update (18 October 2014): The deadline has passed. However, if you are looking for a PhD position, please contact me nevertheless. The university has a well established PhD scholarship system, and you may be eligible to apply.

How about Postdoc positions? This is where it gets a little trickier, as the university has a rather unfavorable system of financing. The only opportunity is an annual call for applications (usually in April). If you are interested, please email me.

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Kn.OpAlg: Spektraeder und vollständige positivität

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Kn.OpAlg: Operatorräume

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Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.-1

Erfrischung (8.7.2011): Es gibt jetzt insgesamt 6 Bonusaufgaben.

(1) Sei \mathcal A eine C^*-Algebra und A\in\mathcal A invertierbar. Zeige: \begin{bmatrix} A& B \\ B^* & D \end{bmatrix} \in M_2(\mathcal A) ist positiv genau dann, wenn A\succeq0 und D-B^* A^{-1} B \succeq 0.

(2) Seien U,V,X beschränkte Operatoren und U,V unitär. Beweise, dass die Matrix \begin{bmatrix} 1 & U & X \\ U^* & 1 & V \\ X^* & V^* & 1\end{bmatrix} positiv ist genau dann, wenn X=UV.

(3) Sei \mathcal A eine C^*-Algebra. Zeige: die Identität \mathcal A\to \mathcal A^{\rm op} ist vollständig positiv genau dann, wenn \mathcal A kommutativ ist.

(4) Sei \varphi eine vollständig positive Abbildung. Beweise: \varphi(a)^* \varphi(a) \leq \| \varphi(1)\| \, \varphi(a^*a) für alle a.

(5) Seien T_1,\ldots,T_n Kontraktionen auf einem Hilbertraum \mathcal H. Beweise: es existiert ein Hilbertraum \mathcal K der \mathcal H enthält und unitäre Operatoren U_1,\ldots,U_n auf \mathcal K mit T_{i_1}^{k_1}\cdots T_{i_m}^{k_m}= P_{\mathcal H} U_{i_1}^{k_1}\cdots U_{i_m}^{k_m} |_{\mathcal H} für alle m,k_j\in\mathbb N und 1\leq i_j \leq n.

(6) Betrachte die Abbildung \phi : M_3\to M_3, [a_{ij}]_{i,j=1}^3 \mapsto 2\, \begin{bmatrix} a_{11}+a_{22} \\ & a_{22}+a_{33} \\ & & a_{33}+a_{11}\end{bmatrix} - [a_{ij}]_{i,j=1}^3. Ist \phi positiv? 2-positiv? 3-positiv? Vollständig positiv?

Bonus-Aufgaben (Abgabetermin: Freitag, der 15.7. vor der Vorlesung)

(-1) Sei \varphi (A) = \sum_j V_j^* A V_j die Choi-Stinespring Darstellung für eine vollständig positive Abbildung zwischen zwei Matrizenalgeben. Was kann man über die V_j sagen, wenn

  • \varphi unital ist?
  • \varphi spurerhaltend ist?
  • \varphi unital und spurerhaltend ist?

(-2) Sei p= z_1^2+z_2^2+z_3^2-2z_1z_2-2z_1z_3-2z_2z_3\in \mathbb C[z_1,z_2,z_3] ein Polynom in drei Unbestimmten. Definiere Matrizen T_1= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1/\sqrt 3 & -1/\sqrt 3 & -1/\sqrt 3 & 0 \end{bmatrix}, T_1= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1/\sqrt 3 & 1/\sqrt 3 & -1/\sqrt 3 & 0 \end{bmatrix} und
T_3= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1/\sqrt 3 & -1/\sqrt 3 & 1/\sqrt 3 & 0 \end{bmatrix}.

  • Zeige: T_1,T_2,T_3 sind kommutierende Kontraktionen.
  • Bestimme \|p\|_\infty := \sup \{ | p(z_1,z_2,z_2) | \mid z_1,z_2,z_3\in\mathbb D\}.
  • Was ist \| p(T_1,T_2,T_3)\|?

(-3) Wann ist \|T\|\leq1 für T=\begin{bmatrix} a & b & c \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & a\end{bmatrix}\in M_3?

(-4) Sei \mathcal A eine Algebra über \mathbb C und \phi:\mathcal A\to\mathbb C ein lineares Funktional. Falls für alle a\in\mathcal A gilt \phi(a^2)=\phi(a)^2, dann ist \phi ein Homomorphismus.

(-5) Sei \mathcal H ein Hilbertraum und T\in B(\mathcal H). Beweise, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

  • r(T)<1;
  • es existiert ein m\in\mathbb N mit \|T^m\|<1;
  • für alle x\in\mathcal H gilt \sum_{n\in\mathbb N} \|T^n(x)\|<\infty.

(-6) Sei \mathcal A eine C^*-Algebra. Falls für alle a\in\mathcal A aus a^2=0 folgt a=0, dann ist \mathcal A kommutativ.

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Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.10

(1) Sei e_n (n\in\mathbb N) die standard Orthonormalbasis von \ell^2. Definiere für jedes T\in B(\ell^2) eine lineare Abbildung T^t:\ell^2\to\ell^2 durch \langle T^te_j,e_i\rangle= \overline{ \langle T^*e_j,e_i\rangle}.  Zeige, dass T^t\in B(\ell^2). Sei \phi: B(\ell^2)\to B(\ell^2), T\mapsto T^t. Beweise, dass \phi eine positive lineare Abbildung ist, und \|\phi_n\|=n für alle n\in\mathbb N.

(2) Sei \mathcal A eine C^*-Algebra und \begin{bmatrix} p & a \\ a^* & p\end{bmatrix} \in M_2(\mathcal A)_+. Zeige, dass \|a\|\leq\|p\|.

Sei A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^n\in M_n. Dann wird durch das Hadamard-Produkt M_n\ni B=[b_{i,j}]_{i,j} \mapsto A*B=[a_{i,j}\cdot b_{i,j}]_{i,j=1}^n eine lineare Abbildung S_A:M_n\to M_n induziert.

(3) Beweise, dass für A\in M_n die folgenden Aussagen äquivalent sind:

  • A ist positiv;
  • S_A ist positiv;
  • S_A ist vollständig positiv.

(4) Zu jeder C^*-Algebra \mathcal A sei \mathcal A^{\rm op} die Menge \mathcal A mit der selben Norm, Addition und Involution aber mit der Multiplikation a\circ b:=b\cdot a. Zeige:

  • \mathcal A^{\rm op} ist eine C^*-Algebra;
  • M_2 und M_2^{\rm op} sind *-isomorph;
  • Die Identität M_2\to M_2^{\rm op} ist positiv aber nicht 2-positiv;
  • Die Identität \mathcal A\to \mathcal A^{\rm op} ist vollständig positiv genau dann, wenn \mathcal A kommutativ ist.

(5) Sei \mathcal M ein linearer Teilraum einer C^*-Algebra und \varphi:\mathcal M\to M_n eine beschränkte lineare Abbildung. Beweise \|\varphi\|_{\rm cb}\leq n\|\varphi\|.

(6) Sei \mathcal A eine C^*-Algebra und {\rm Tr}\,: M_n(\mathcal A)\to \mathcal A die Spur [a_{i,j}]_{i,j=1}^n \mapsto \sum_{j=1}^n a_{ii}. Ist {\rm Tr} vollständig positiv?

(7) Sei \mathcal A eine C^*-Algebra und A\in\mathcal A invertierbar. Zeige: \begin{bmatrix} A& B \\ B^* & D \end{bmatrix} \in M_2(\mathcal A) ist positiv genau dann, wenn A\succeq0 und D-B^* A^{-1} B \succeq 0.

(8) Auf M_n=M_n(\mathbb C) betrachten wir die Transponierung A\mapsto A^t. Zeige: A ist positiv genau dann, wenn A^t positiv ist. Es gilt \|A\|=\|A^t\|.

Bonus-Aufgaben (Abgabetermin: irgendwann vor der Prüfung)

(-1) Wann ist \|T\|\leq1 für T=\begin{bmatrix} a & b & c \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & a\end{bmatrix}\in M_3?

(-2) Sei \mathcal A eine Algebra über \mathbb C und \phi:\mathcal A\to\mathbb C ein lineares Funktional. Falls für alle a\in\mathcal A gilt \phi(a^2)=\phi(a)^2, dann ist \phi ein Homomorphismus.

(-3) Sei \mathcal H ein Hilbertraum und T\in B(\mathcal H). Beweise, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

  • r(T)<1;
  • es existiert ein m\in\mathbb N mit \|T^m\|<1;
  • für alle x\in\mathcal H gilt \sum_{n\in\mathbb N} \|T^n(x)\|<\infty.

(-4) Sei \mathcal A eine C^*-Algebra. Falls für alle a\in\mathcal A aus a^2=0 folgt a=0, dann ist \mathcal A kommutativ.

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Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.9

\mathcal H ist stets ein Hilbertraum. Alle Hilbertäume etc. sind über \mathbb C.

(1) Sei \mathcal S ein Operatorsystem in einer C^*-Algebra \mathcal A und \varphi:\mathcal S\to\mathbb C ein positives Funktional. Beweise: \varphi erweitert zu einem positiven Funktional auf \mathcal A.

(2) Benutze das Beispiel von Arveson um eine positive Abbildung anzugeben (deren Werte nicht alle in \mathbb C liegen!), die man nicht zu einer positiven Abbildung auf der ganzen Algebra erweitern kann.

(3) Sei V eine Isometrie auf \mathcal H und P=I-VV^* \in B(\mathcal H). (Frage: was ist die geometrische Interpretation von P?). Auf \mathcal K:=\mathcal H\oplus\mathcal H definiere U=\begin{bmatrix} V & P \\ 0 & V^*\end{bmatrix}. Zeige:

  • U ist unitär.
  • wir identifizieren \mathcal H mit \mathcal H\oplus\{0\}\subseteq \mathcal K. Dann gilt für alle n\in\mathbb N: V^n= P_{\mathcal H} U^n |_{\mathcal H}.
  • Ist V^* die Restriktion von U^*?

(4) Sei T\in B(\mathcal H) eine Kontraktion und D_T = (I-T^*T)^{1/2}. Auf \ell^2(\mathcal H) definieren wir V mit V(h_1,h_2,\ldots) = (Th_1, D_Th_1, h_2, \ldots). Beweise:

  • V ist eine Isometrie.
  • wir identifizieren \mathcal H mit \mathcal H\oplus\{0\}\oplus\{0\}\oplus\cdots\subseteq \ell^2(\mathcal H). Dann gilt für alle n\in\mathbb N: T^n= P_{\mathcal H} V^n |_{\mathcal H}.

(5) Sei T\in B(\mathcal H) eine Kontraktion. Zeige: es existiert ein Hilbertraum \mathcal K der \mathcal H enthält und ein unitärer Operator U auf \mathcal K, so daß T^n= P_{\mathcal H} U^n |_{\mathcal H} für alle n\in\mathbb N.

(6) Mit Hilfe der Aufgabe (5) und des Spektralabbildungssatzes gib einen neuen Beweis der Ungleichung von von Neumann.

(7) Sei \mathcal S ein Operatorsystem und \phi:\mathcal S\to B(\mathcal H) eine unitale positive Abbilduing. Beweise, daß w\big(\phi(a)\big)\leq \|a\| für alle a\in\mathcal S.

Bonus-Aufgaben (Abgabetermin: irgendwann vor der Prüfung)

(-0) Wann ist \|T\|\leq1 für T=\begin{bmatrix} a & b & c \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & a\end{bmatrix}\in M_3?

(-1) Sei \mathcal A eine Algebra über \mathbb C und \phi:\mathcal A\to\mathbb C ein lineares Funktional. Falls für alle a\in\mathcal A gilt \phi(a^2)=\phi(a)^2, dann ist \phi ein Homomorphismus.

(-2) Sei \mathcal H ein Hilbertraum und T\in B(\mathcal H). Beweise, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

  • r(T)<1;
  • es existiert ein m\in\mathbb N mit \|T^m\|<1;
  • für alle x\in\mathcal H gilt \sum_{n\in\mathbb N} \|T^n(x)\|<\infty.

(-3) Sei \mathcal A eine C^*-Algebra. Falls für alle a\in\mathcal A aus a^2=0 folgt a=0, dann ist \mathcal A kommutativ.

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Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.8

Abgabetermin: 17.6. vor der Vorlesung.

(1) Gibt es eine C^*-Algebra \mathcal A in der Elemente a,b existieren mit ab-ba=1? (Hinweis: Berechne A^mB-BA^m.)

(2) Fixiere n\in\mathbb N und seien E_{i,j} die Matrizen-Einheiten. Definiere A=[E_{j,i}]_{i,j=1}^n und B=[E_{i,j}]_{i,j=1}^n aus M_n(M_n). Beweise: A ist unitär und \frac 1n B ist eine Rang 1 Projektion.

(3) Wann ist \|T\|\leq1 für T=\begin{bmatrix} a & b & c \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & a\end{bmatrix}\in M_3?

Erinnerung: Der numerischer Radius von T\in B(\mathcal H) ist w(T)=\sup \big\{ | \langle Tx,x\rangle | \mid x\in\mathcal H, \, \|x\|\leq 1\big\}.

(4) Sei T\in B(\mathcal H). Zeige: w(T)\leq1 \Leftrightarrow 2+(\lambda T)+(\lambda T)^* \succeq0 für alle \lambda\in\partial \mathbb D.

(5) Beweise: w ist eine Norm auf B(\mathcal H). Es gilt w(T)\leq \|T\|\leq 2 w(T) für alle T\in B(\mathcal H). Zeige, dass auf beiden Seiten die Gleichung erreicht wird.

(6) Sei p\in\mathbb C[z] ein Polynom. Nehme an, {\rm Im}\, p\big( e^{i \theta}\big)=0 für alle \theta\in\mathbb R. Zeige, dass p eine reelle Konstante ist.

(7) Sei X ein kompakter Hausdorff-Raum, \mathcal S ein Operatorsystem, und \phi:\mathcal S\to C(X) positiv. Beweise, dass \|\phi\|\leq\|\phi(1)\|.

Bonus-Aufgaben (Abgabetermin: irgendwann vor der Prüfung)

(-1) Sei \mathcal A eine Algebra über \mathbb C und \phi:\mathcal A\to\mathbb C ein lineares Funktional. Falls für alle a\in\mathcal A gilt \phi(a^2)=\phi(a)^2, dann ist \phi ein Homomorphismus.

(-2) Sei \mathcal H ein Hilbertraum und T\in B(\mathcal H). Beweise, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

  • r(T)<1;
  • es existiert ein m\in\mathbb N mit \|T^m\|<1;
  • für alle x\in\mathcal H gilt \sum_{n\in\mathbb N} \|T^n(x)\|<\infty.

(-3) Sei \mathcal A eine C^*-Algebra. Falls für alle a\in\mathcal A aus a^2=0 folgt a=0, dann ist \mathcal A kommutativ.

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