Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.10

(1) Sei e_n (n\in\mathbb N) die standard Orthonormalbasis von \ell^2. Definiere für jedes T\in B(\ell^2) eine lineare Abbildung T^t:\ell^2\to\ell^2 durch \langle T^te_j,e_i\rangle= \overline{ \langle T^*e_j,e_i\rangle}.  Zeige, dass T^t\in B(\ell^2). Sei \phi: B(\ell^2)\to B(\ell^2), T\mapsto T^t. Beweise, dass \phi eine positive lineare Abbildung ist, und \|\phi_n\|=n für alle n\in\mathbb N.

(2) Sei \mathcal A eine C^*-Algebra und \begin{bmatrix} p & a \\ a^* & p\end{bmatrix} \in M_2(\mathcal A)_+. Zeige, dass \|a\|\leq\|p\|.

Sei A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^n\in M_n. Dann wird durch das Hadamard-Produkt M_n\ni B=[b_{i,j}]_{i,j} \mapsto A*B=[a_{i,j}\cdot b_{i,j}]_{i,j=1}^n eine lineare Abbildung S_A:M_n\to M_n induziert.

(3) Beweise, dass für A\in M_n die folgenden Aussagen äquivalent sind:

  • A ist positiv;
  • S_A ist positiv;
  • S_A ist vollständig positiv.

(4) Zu jeder C^*-Algebra \mathcal A sei \mathcal A^{\rm op} die Menge \mathcal A mit der selben Norm, Addition und Involution aber mit der Multiplikation a\circ b:=b\cdot a. Zeige:

  • \mathcal A^{\rm op} ist eine C^*-Algebra;
  • M_2 und M_2^{\rm op} sind *-isomorph;
  • Die Identität M_2\to M_2^{\rm op} ist positiv aber nicht 2-positiv;
  • Die Identität \mathcal A\to \mathcal A^{\rm op} ist vollständig positiv genau dann, wenn \mathcal A kommutativ ist.

(5) Sei \mathcal M ein linearer Teilraum einer C^*-Algebra und \varphi:\mathcal M\to M_n eine beschränkte lineare Abbildung. Beweise \|\varphi\|_{\rm cb}\leq n\|\varphi\|.

(6) Sei \mathcal A eine C^*-Algebra und {\rm Tr}\,: M_n(\mathcal A)\to \mathcal A die Spur [a_{i,j}]_{i,j=1}^n \mapsto \sum_{j=1}^n a_{ii}. Ist {\rm Tr} vollständig positiv?

(7) Sei \mathcal A eine C^*-Algebra und A\in\mathcal A invertierbar. Zeige: \begin{bmatrix} A& B \\ B^* & D \end{bmatrix} \in M_2(\mathcal A) ist positiv genau dann, wenn A\succeq0 und D-B^* A^{-1} B \succeq 0.

(8) Auf M_n=M_n(\mathbb C) betrachten wir die Transponierung A\mapsto A^t. Zeige: A ist positiv genau dann, wenn A^t positiv ist. Es gilt \|A\|=\|A^t\|.

Bonus-Aufgaben (Abgabetermin: irgendwann vor der Prüfung)

(-1) Wann ist \|T\|\leq1 für T=\begin{bmatrix} a & b & c \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & a\end{bmatrix}\in M_3?

(-2) Sei \mathcal A eine Algebra über \mathbb C und \phi:\mathcal A\to\mathbb C ein lineares Funktional. Falls für alle a\in\mathcal A gilt \phi(a^2)=\phi(a)^2, dann ist \phi ein Homomorphismus.

(-3) Sei \mathcal H ein Hilbertraum und T\in B(\mathcal H). Beweise, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

  • r(T)<1;
  • es existiert ein m\in\mathbb N mit \|T^m\|<1;
  • für alle x\in\mathcal H gilt \sum_{n\in\mathbb N} \|T^n(x)\|<\infty.

(-4) Sei \mathcal A eine C^*-Algebra. Falls für alle a\in\mathcal A aus a^2=0 folgt a=0, dann ist \mathcal A kommutativ.

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