Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.9

\mathcal H ist stets ein Hilbertraum. Alle Hilbertäume etc. sind über \mathbb C.

(1) Sei \mathcal S ein Operatorsystem in einer C^*-Algebra \mathcal A und \varphi:\mathcal S\to\mathbb C ein positives Funktional. Beweise: \varphi erweitert zu einem positiven Funktional auf \mathcal A.

(2) Benutze das Beispiel von Arveson um eine positive Abbildung anzugeben (deren Werte nicht alle in \mathbb C liegen!), die man nicht zu einer positiven Abbildung auf der ganzen Algebra erweitern kann.

(3) Sei V eine Isometrie auf \mathcal H und P=I-VV^* \in B(\mathcal H). (Frage: was ist die geometrische Interpretation von P?). Auf \mathcal K:=\mathcal H\oplus\mathcal H definiere U=\begin{bmatrix} V & P \\ 0 & V^*\end{bmatrix}. Zeige:

  • U ist unitär.
  • wir identifizieren \mathcal H mit \mathcal H\oplus\{0\}\subseteq \mathcal K. Dann gilt für alle n\in\mathbb N: V^n= P_{\mathcal H} U^n |_{\mathcal H}.
  • Ist V^* die Restriktion von U^*?

(4) Sei T\in B(\mathcal H) eine Kontraktion und D_T = (I-T^*T)^{1/2}. Auf \ell^2(\mathcal H) definieren wir V mit V(h_1,h_2,\ldots) = (Th_1, D_Th_1, h_2, \ldots). Beweise:

  • V ist eine Isometrie.
  • wir identifizieren \mathcal H mit \mathcal H\oplus\{0\}\oplus\{0\}\oplus\cdots\subseteq \ell^2(\mathcal H). Dann gilt für alle n\in\mathbb N: T^n= P_{\mathcal H} V^n |_{\mathcal H}.

(5) Sei T\in B(\mathcal H) eine Kontraktion. Zeige: es existiert ein Hilbertraum \mathcal K der \mathcal H enthält und ein unitärer Operator U auf \mathcal K, so daß T^n= P_{\mathcal H} U^n |_{\mathcal H} für alle n\in\mathbb N.

(6) Mit Hilfe der Aufgabe (5) und des Spektralabbildungssatzes gib einen neuen Beweis der Ungleichung von von Neumann.

(7) Sei \mathcal S ein Operatorsystem und \phi:\mathcal S\to B(\mathcal H) eine unitale positive Abbilduing. Beweise, daß w\big(\phi(a)\big)\leq \|a\| für alle a\in\mathcal S.

Bonus-Aufgaben (Abgabetermin: irgendwann vor der Prüfung)

(-0) Wann ist \|T\|\leq1 für T=\begin{bmatrix} a & b & c \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & a\end{bmatrix}\in M_3?

(-1) Sei \mathcal A eine Algebra über \mathbb C und \phi:\mathcal A\to\mathbb C ein lineares Funktional. Falls für alle a\in\mathcal A gilt \phi(a^2)=\phi(a)^2, dann ist \phi ein Homomorphismus.

(-2) Sei \mathcal H ein Hilbertraum und T\in B(\mathcal H). Beweise, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

  • r(T)<1;
  • es existiert ein m\in\mathbb N mit \|T^m\|<1;
  • für alle x\in\mathcal H gilt \sum_{n\in\mathbb N} \|T^n(x)\|<\infty.

(-3) Sei \mathcal A eine C^*-Algebra. Falls für alle a\in\mathcal A aus a^2=0 folgt a=0, dann ist \mathcal A kommutativ.

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