Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.-1

Erfrischung (8.7.2011): Es gibt jetzt insgesamt 6 Bonusaufgaben.

(1) Sei \mathcal A eine C^*-Algebra und A\in\mathcal A invertierbar. Zeige: \begin{bmatrix} A& B \\ B^* & D \end{bmatrix} \in M_2(\mathcal A) ist positiv genau dann, wenn A\succeq0 und D-B^* A^{-1} B \succeq 0.

(2) Seien U,V,X beschränkte Operatoren und U,V unitär. Beweise, dass die Matrix \begin{bmatrix} 1 & U & X \\ U^* & 1 & V \\ X^* & V^* & 1\end{bmatrix} positiv ist genau dann, wenn X=UV.

(3) Sei \mathcal A eine C^*-Algebra. Zeige: die Identität \mathcal A\to \mathcal A^{\rm op} ist vollständig positiv genau dann, wenn \mathcal A kommutativ ist.

(4) Sei \varphi eine vollständig positive Abbildung. Beweise: \varphi(a)^* \varphi(a) \leq \| \varphi(1)\| \, \varphi(a^*a) für alle a.

(5) Seien T_1,\ldots,T_n Kontraktionen auf einem Hilbertraum \mathcal H. Beweise: es existiert ein Hilbertraum \mathcal K der \mathcal H enthält und unitäre Operatoren U_1,\ldots,U_n auf \mathcal K mit T_{i_1}^{k_1}\cdots T_{i_m}^{k_m}= P_{\mathcal H} U_{i_1}^{k_1}\cdots U_{i_m}^{k_m} |_{\mathcal H} für alle m,k_j\in\mathbb N und 1\leq i_j \leq n.

(6) Betrachte die Abbildung \phi : M_3\to M_3, [a_{ij}]_{i,j=1}^3 \mapsto 2\, \begin{bmatrix} a_{11}+a_{22} \\ & a_{22}+a_{33} \\ & & a_{33}+a_{11}\end{bmatrix} - [a_{ij}]_{i,j=1}^3. Ist \phi positiv? 2-positiv? 3-positiv? Vollständig positiv?

Bonus-Aufgaben (Abgabetermin: Freitag, der 15.7. vor der Vorlesung)

(-1) Sei \varphi (A) = \sum_j V_j^* A V_j die Choi-Stinespring Darstellung für eine vollständig positive Abbildung zwischen zwei Matrizenalgeben. Was kann man über die V_j sagen, wenn

  • \varphi unital ist?
  • \varphi spurerhaltend ist?
  • \varphi unital und spurerhaltend ist?

(-2) Sei p= z_1^2+z_2^2+z_3^2-2z_1z_2-2z_1z_3-2z_2z_3\in \mathbb C[z_1,z_2,z_3] ein Polynom in drei Unbestimmten. Definiere Matrizen T_1= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1/\sqrt 3 & -1/\sqrt 3 & -1/\sqrt 3 & 0 \end{bmatrix}, T_1= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1/\sqrt 3 & 1/\sqrt 3 & -1/\sqrt 3 & 0 \end{bmatrix} und
T_3= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1/\sqrt 3 & -1/\sqrt 3 & 1/\sqrt 3 & 0 \end{bmatrix}.

  • Zeige: T_1,T_2,T_3 sind kommutierende Kontraktionen.
  • Bestimme \|p\|_\infty := \sup \{ | p(z_1,z_2,z_2) | \mid z_1,z_2,z_3\in\mathbb D\}.
  • Was ist \| p(T_1,T_2,T_3)\|?

(-3) Wann ist \|T\|\leq1 für T=\begin{bmatrix} a & b & c \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & a\end{bmatrix}\in M_3?

(-4) Sei \mathcal A eine Algebra über \mathbb C und \phi:\mathcal A\to\mathbb C ein lineares Funktional. Falls für alle a\in\mathcal A gilt \phi(a^2)=\phi(a)^2, dann ist \phi ein Homomorphismus.

(-5) Sei \mathcal H ein Hilbertraum und T\in B(\mathcal H). Beweise, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

  • r(T)<1;
  • es existiert ein m\in\mathbb N mit \|T^m\|<1;
  • für alle x\in\mathcal H gilt \sum_{n\in\mathbb N} \|T^n(x)\|<\infty.

(-6) Sei \mathcal A eine C^*-Algebra. Falls für alle a\in\mathcal A aus a^2=0 folgt a=0, dann ist \mathcal A kommutativ.

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