Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.8

Abgabetermin: 17.6. vor der Vorlesung.

(1) Gibt es eine C^*-Algebra \mathcal A in der Elemente a,b existieren mit ab-ba=1? (Hinweis: Berechne A^mB-BA^m.)

(2) Fixiere n\in\mathbb N und seien E_{i,j} die Matrizen-Einheiten. Definiere A=[E_{j,i}]_{i,j=1}^n und B=[E_{i,j}]_{i,j=1}^n aus M_n(M_n). Beweise: A ist unitär und \frac 1n B ist eine Rang 1 Projektion.

(3) Wann ist \|T\|\leq1 für T=\begin{bmatrix} a & b & c \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & a\end{bmatrix}\in M_3?

Erinnerung: Der numerischer Radius von T\in B(\mathcal H) ist w(T)=\sup \big\{ | \langle Tx,x\rangle | \mid x\in\mathcal H, \, \|x\|\leq 1\big\}.

(4) Sei T\in B(\mathcal H). Zeige: w(T)\leq1 \Leftrightarrow 2+(\lambda T)+(\lambda T)^* \succeq0 für alle \lambda\in\partial \mathbb D.

(5) Beweise: w ist eine Norm auf B(\mathcal H). Es gilt w(T)\leq \|T\|\leq 2 w(T) für alle T\in B(\mathcal H). Zeige, dass auf beiden Seiten die Gleichung erreicht wird.

(6) Sei p\in\mathbb C[z] ein Polynom. Nehme an, {\rm Im}\, p\big( e^{i \theta}\big)=0 für alle \theta\in\mathbb R. Zeige, dass p eine reelle Konstante ist.

(7) Sei X ein kompakter Hausdorff-Raum, \mathcal S ein Operatorsystem, und \phi:\mathcal S\to C(X) positiv. Beweise, dass \|\phi\|\leq\|\phi(1)\|.

Bonus-Aufgaben (Abgabetermin: irgendwann vor der Prüfung)

(-1) Sei \mathcal A eine Algebra über \mathbb C und \phi:\mathcal A\to\mathbb C ein lineares Funktional. Falls für alle a\in\mathcal A gilt \phi(a^2)=\phi(a)^2, dann ist \phi ein Homomorphismus.

(-2) Sei \mathcal H ein Hilbertraum und T\in B(\mathcal H). Beweise, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

  • r(T)<1;
  • es existiert ein m\in\mathbb N mit \|T^m\|<1;
  • für alle x\in\mathcal H gilt \sum_{n\in\mathbb N} \|T^n(x)\|<\infty.

(-3) Sei \mathcal A eine C^*-Algebra. Falls für alle a\in\mathcal A aus a^2=0 folgt a=0, dann ist \mathcal A kommutativ.

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