Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.5

(1) Sei \mathcal A eine Banachalgebra mit 1. Wie in der Vorlesung definiere zu a\in\mathcal A die Links- und Rechtsmultiplikation L_a,R_a\in B(\mathcal A). Zeige: \sigma(a)=\sigma(L_a)=\sigma(R_a).

(2) Für einen kompakten T_2 Raum X bestimme die maximalen Ideale von C(X).

Sei \mathbb D:=\{z\in\mathbb C\mid |z|\leq1\}, \text{Int } \mathbb D:=\{z\in\mathbb C\mid |z|< 1\} und \partial\mathbb D:=\{z\in\mathbb C\mid |z|=1\}.

(3) Sei \mathcal H ein Hilbertraum und T\in B(\mathcal H) eine Isometrie. Zeige, dass \sigma(T)=\mathbb D oder \sigma(T)\subseteq \partial \mathbb D.

(4) Sei \mathcal H ein komplexer Hilbertraum und T\in B(\mathcal H). Beweise, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

  • r(T)<1;
  • es existiert ein m\in\mathbb N mit \|T^m\|<1;
  • für alle x\in\mathcal H gilt \sum_{n\in\mathbb N} \|T^n(x)\|<\infty.

(5) Betrachte den Ring C(X) aller stetigen Funktionen auf einem kompakten Hausdorff-Raum X. Zeige: für jede stetige Funktion f\in C(X) gibt es eindeutige g,h\in C(X) mit:

  • f=g-h;
  • gh=0;
  • für alle x\in X gilt g(x)\geq0 und h(x)\geq0.

(6) Sei \mathcal A:=\{f\in C(\mathbb D) \mid f \text{ ist analytisch auf Int }\mathbb D\}. Für f\in \mathcal A definiere f^* mit f^*(z)= \overline {f(\bar z)}. Beweise:

  • \mathcal A ist eine Banachalgebra mit Involution;
  • \|f^*\|=\|f\| für alle f\in\mathcal A;
  • \mathcal A ist keine C^*-Algebra.

Bonus-Aufgabe:

(-1) Sei \mathcal A eine Algebra über \mathbb C und \phi:\mathcal A\to\mathbb C ein lineares Funktional. Falls für alle a\in\mathcal A gilt \phi(a^2)=\phi(a)^2, dann ist \phi ein Homomorphismus.

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