Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.6

Erfrischung (27.5.2011): Aufgabe (0) ist neu.

(0) Singulärwertzerlegung einer Matrix: Sei \bf K\in\{\mathbb R,\mathbb C\} und A\in M_{m,n}(\bf K). Dann gibt es unitäre Matrizen U\in M_m(\bf K) und V\in M_n(\bf K) mit A=U \Sigma V^*, wo \Sigma \in M_{m,n}(\mathbb R_{\geq0}) eine diagonale Matrix ist.

Sei \mathcal A stets eine C^*-Algebra mit 1.

(1) Für a=a^*\in \mathcal A gilt |a|:= (a^*a)^{\frac 12}=a_++a_-.

(2) Für a\in\mathcal A_+ ist x^*ax\in\mathcal A_+ für alle x\in\mathcal A.

(3) Seien a,b\in\mathcal A und 0\leq a\leq b. Wenn a invertierbar ist, dann ist auch b invertierbar und b^{-1}\leq a^{-1}.

(4) Jedes a=a^*\in \mathcal A  mit \|a\|\leq1 ist die Summe zweier unitärer Elemente.

(5) Finde eine C^*-Algebra \mathcal A und zwei Elemente a,b\in\mathcal A_+ mit a\leq b aber a^2\not\leq b^2.

(6) Folgt aus a,b\in\mathcal A_+, dass ab\in\mathcal A_+? Was wenn a,b kommutieren?

Bonus-Aufgaben:

(-1) Sei \mathcal A eine Algebra über \mathbb C und \phi:\mathcal A\to\mathbb C ein lineares Funktional. Falls für alle a\in\mathcal A gilt \phi(a^2)=\phi(a)^2, dann ist \phi ein Homomorphismus.

(-2) Sei \mathcal H ein Hilbertraum und T\in B(\mathcal H). Beweise, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

  • r(T)<1;
  • es existiert ein m\in\mathbb N mit \|T^m\|<1;
  • für alle x\in\mathcal H gilt \sum_{n\in\mathbb N} \|T^n(x)\|<\infty.
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