Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.7

Sei \mathcal A stets eine C^*-Algebra mit 1.

(1) Sei f:\mathcal A\to\mathbb C ein positives Funktional und \alpha\in\mathbb R_{>0}. Beweise, dass \pi_f und \pi_{\alpha f} äquivalente Darstellungen sind.

(2) Zeige: für a\in\mathcal A gilt a\in\mathcal A_+ genau dann, wenn f(a)\geq0 für alle Zustände f.

(3) Beweise: jedes Element einer C^*-Algebra \mathcal A ist die lineare Kombination von 4 Elementen aus \mathcal A_+.

(4) Zeige: für h=h^*\in\mathcal A ist u:=\exp(i\, h) unitär. Falls u\in\mathcal A unitär ist und \sigma (u) \subsetneq\partial\mathbb D, dann gilt auch die Umkehrung: es existiert ein h=h^*\in\mathcal A mit u=\exp(i\, h).

(5) Beweise: der Durchschnitt aller maximalen Linksideale von \mathcal A ist \{0\}.

(6) Existieren in \mathcal A Elemente a,b mit ab-ba=1?

(7) Sei \mathcal I ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal von \mathcal A. Zeige, dass es eine Darstellung \pi von \mathcal A gibt mit {\rm Ker}\, \pi=\mathcal I.

Bonus-Aufgaben:

(-1) Sei \mathcal A eine Algebra über \mathbb C und \phi:\mathcal A\to\mathbb C ein lineares Funktional. Falls für alle a\in\mathcal A gilt \phi(a^2)=\phi(a)^2, dann ist \phi ein Homomorphismus.

(-2) Sei \mathcal H ein Hilbertraum und T\in B(\mathcal H). Beweise, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

  • r(T)<1;
  • es existiert ein m\in\mathbb N mit \|T^m\|<1;
  • für alle x\in\mathcal H gilt \sum_{n\in\mathbb N} \|T^n(x)\|<\infty.

(-3) Falls für alle a\in\mathcal A aus a^2=0 folgt a=0, dann ist \mathcal A kommutativ.

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Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.6

Erfrischung (27.5.2011): Aufgabe (0) ist neu.

(0) Singulärwertzerlegung einer Matrix: Sei \bf K\in\{\mathbb R,\mathbb C\} und A\in M_{m,n}(\bf K). Dann gibt es unitäre Matrizen U\in M_m(\bf K) und V\in M_n(\bf K) mit A=U \Sigma V^*, wo \Sigma \in M_{m,n}(\mathbb R_{\geq0}) eine diagonale Matrix ist.

Sei \mathcal A stets eine C^*-Algebra mit 1.

(1) Für a=a^*\in \mathcal A gilt |a|:= (a^*a)^{\frac 12}=a_++a_-.

(2) Für a\in\mathcal A_+ ist x^*ax\in\mathcal A_+ für alle x\in\mathcal A.

(3) Seien a,b\in\mathcal A und 0\leq a\leq b. Wenn a invertierbar ist, dann ist auch b invertierbar und b^{-1}\leq a^{-1}.

(4) Jedes a=a^*\in \mathcal A  mit \|a\|\leq1 ist die Summe zweier unitärer Elemente.

(5) Finde eine C^*-Algebra \mathcal A und zwei Elemente a,b\in\mathcal A_+ mit a\leq b aber a^2\not\leq b^2.

(6) Folgt aus a,b\in\mathcal A_+, dass ab\in\mathcal A_+? Was wenn a,b kommutieren?

Bonus-Aufgaben:

(-1) Sei \mathcal A eine Algebra über \mathbb C und \phi:\mathcal A\to\mathbb C ein lineares Funktional. Falls für alle a\in\mathcal A gilt \phi(a^2)=\phi(a)^2, dann ist \phi ein Homomorphismus.

(-2) Sei \mathcal H ein Hilbertraum und T\in B(\mathcal H). Beweise, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

  • r(T)<1;
  • es existiert ein m\in\mathbb N mit \|T^m\|<1;
  • für alle x\in\mathcal H gilt \sum_{n\in\mathbb N} \|T^n(x)\|<\infty.
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Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.5

(1) Sei \mathcal A eine Banachalgebra mit 1. Wie in der Vorlesung definiere zu a\in\mathcal A die Links- und Rechtsmultiplikation L_a,R_a\in B(\mathcal A). Zeige: \sigma(a)=\sigma(L_a)=\sigma(R_a).

(2) Für einen kompakten T_2 Raum X bestimme die maximalen Ideale von C(X).

Sei \mathbb D:=\{z\in\mathbb C\mid |z|\leq1\}, \text{Int } \mathbb D:=\{z\in\mathbb C\mid |z|< 1\} und \partial\mathbb D:=\{z\in\mathbb C\mid |z|=1\}.

(3) Sei \mathcal H ein Hilbertraum und T\in B(\mathcal H) eine Isometrie. Zeige, dass \sigma(T)=\mathbb D oder \sigma(T)\subseteq \partial \mathbb D.

(4) Sei \mathcal H ein komplexer Hilbertraum und T\in B(\mathcal H). Beweise, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

  • r(T)<1;
  • es existiert ein m\in\mathbb N mit \|T^m\|<1;
  • für alle x\in\mathcal H gilt \sum_{n\in\mathbb N} \|T^n(x)\|<\infty.

(5) Betrachte den Ring C(X) aller stetigen Funktionen auf einem kompakten Hausdorff-Raum X. Zeige: für jede stetige Funktion f\in C(X) gibt es eindeutige g,h\in C(X) mit:

  • f=g-h;
  • gh=0;
  • für alle x\in X gilt g(x)\geq0 und h(x)\geq0.

(6) Sei \mathcal A:=\{f\in C(\mathbb D) \mid f \text{ ist analytisch auf Int }\mathbb D\}. Für f\in \mathcal A definiere f^* mit f^*(z)= \overline {f(\bar z)}. Beweise:

  • \mathcal A ist eine Banachalgebra mit Involution;
  • \|f^*\|=\|f\| für alle f\in\mathcal A;
  • \mathcal A ist keine C^*-Algebra.

Bonus-Aufgabe:

(-1) Sei \mathcal A eine Algebra über \mathbb C und \phi:\mathcal A\to\mathbb C ein lineares Funktional. Falls für alle a\in\mathcal A gilt \phi(a^2)=\phi(a)^2, dann ist \phi ein Homomorphismus.

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Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.4

Bezeichnung: \mathcal H ist stets ein Hilbertraum über \mathbb C.

(1) Sei \mathcal A eine Banachalgebra mit 1 und a,b\in\mathcal A. Zeige, dass \sigma(ab)\cup\{0\}=\sigma(ba)\cup\{0\}. Gilt auch \sigma(ab)=\sigma(ba)?

(2) Für den Rechtsshift S:\ell^2\to\ell^2 bestimme \sigma(S) und \sigma_p(S).

(3) Zeige: falls \dim\mathcal H>1, dann gibt es keine nicht-trivialen linearen Funktionale B(\mathcal H)\to{\bf K}, die multiplikativ sind.

(4) Sei \phi stetig auf [0,1] und M_\phi der Multiplikationsoperator auf L^2([0,1]). Bestimme das Spektrum von M_\phi.

(5) Für eine Projektion E\neq 0,1 auf \mathcal H bestimme \sigma(E).

(6) Sei \mathcal A eine Banachalgebra mit 1. Wie in der Vorlesung definiere zu a\in\mathcal A die Links- und Rechtsmultiplikation L_a,R_a\in B(\mathcal A). Zeige: \sigma(a)=\sigma(L_a)=\sigma(R_a).

(7) Sei \mathcal A eine Algebra über \mathbb C und \phi:\mathcal A\to\mathbb C ein lineares Funktional. Falls für alle x\in\mathcal A gilt \phi(a^2)=\phi(a)^2, dann ist \phi ein Homomorphismus.

(8) Für einen kompakten T_2 Raum X bestimme die maximalen Ideale von C(X).

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Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.3

Änderung (9.5.): p=2 in Aufgabe 7.

Änderung (10.5.): In 2 und 4 werden Idempotente gesucht (und nicht Projektionen).

Bezeichnung: \mathcal H ist stets ein Hilbertraum über {\bf K}\in\{\mathbb R,\mathbb C\}.

(1) Seien P,Q\in B(\mathcal H) Projektionen. Beweise: PQ=QP genau dann, wenn P+Q-PQ eine Projektion ist. Dann gilt {\rm im}\, (P+Q-PQ)={\rm im}\, P +{\rm im}\, Q und {\rm ker}\, (P+Q-PQ)={\rm ker}\, P \cap{\rm ker}\, Q.

(2) Sei \mathcal H=\mathbb R^2, \mathcal H'=\mathbb R\times\{0\} und \mathcal H''= \{(x, x \tan \phi) \mid x\in\mathbb R\} für ein 0<\phi<\frac{\pi}2. Bestimme eine explizite Formel für den Idempotenten E_\phi:\mathcal H\to\mathcal H mit {\rm im}\,E=\mathcal H' und {\rm ker}\,E=\mathcal H''. Was ist \|E_\phi\|?

(3) Sei A\in B(\mathcal H) normal. Beweise:

  • Für \lambda\in{\bf K} ist {\rm ker}\,(A-\lambda) reduzierend für A.
  • Falls \lambda,\mu\in{\bf K} zwei verschiedene Eigenwerte von A sind, dann gilt {\rm ker}\,(A-\lambda) \perp {\rm ker}\,(A-\mu).
  • Nehme an A ist sogar selbst-adjungiert. Dann ist \sigma_p(A)\subseteq \mathbb R.

(4) Seien \mathcal H',\mathcal H'' abgeschlossene lineare Teilräume von \mathcal H mit \mathcal H'\cap\mathcal H''=\{0\} und \mathcal H' + \mathcal H''=\mathcal H. Beweise: es existiert genau ein Idempotent P\in B(\mathcal H) mit {\rm ker}\, P=\mathcal H' und {\rm im}\, P=\mathcal H''.

(5) Sei V der Volterraoperator auf L^2([0,1]). Bestimme \sigma_p(V).

(6) Sei \mathcal A eine Banachalgebra mit 1 und a,b\in\mathcal A. Zeige, dass \sigma(ab)\cup\{0\}=\sigma(ba)\cup\{0\}. Gilt auch \sigma(ab)=\sigma(ba)?

(7) Für den Rechtsshift S:\ell^2\to\ell^2 bestimme \sigma(S) und \sigma_p(S).

(8) Zeige: falls \dim\mathcal H>1, dann gibt es keine nicht-trivialen linearen Funktionale B(\mathcal H)\to{\bf K}, die multiplikativ sind.

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Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.2

Sei stehts {\bf K}\in\{\mathbb C,\mathbb R\} und \mathcal H,\mathcal K, \mathcal L Hilberträume über {\bf K}.

(1) Für alle A,B \in B(\mathcal H,\mathcal K) und \alpha\in {\bf K} gilt \|A+B\|\leq \|A\|+\|B\| und \|\alpha\, A\|= |\alpha| \, \|A\|. Falls A\in B(\mathcal H,\mathcal K) und B\in B(\mathcal K,\mathcal L), dann ist \|B\, A\|\leq \|B\|\, \|A\|.

(2) Sei \{e_n\mid n\in\mathbb N\} die Standardorthonormalbasis von \ell^2. Beweise: es existiert ein A\in B(\ell^2) mit Ae_n=\alpha_n e_n für alle n\in\mathbb N genau dann, wenn \alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\ldots) \in \ell^\infty. Dann gilt \|A\|=\|\alpha\|_\infty.

(3) Bestimme A^* für den Operator A aus (2).

(4) Sei \mathcal H ein \mathbb C-Hilbertraum und A \in B(\mathcal H). Falls A=B+i C ist für selbst-adjungierte B,C\in B(\mathcal H), dann gilt B=\frac {A+A^*}2 und C=\frac {A-A^*}{2i\;}.

(5) Falls A\in B(\mathcal H) normal ist, dann gilt: A ist injektiv \Leftrightarrow das Bild von A ist dicht in \mathcal H. Stimmt die Aussage auch wenn A nicht normal ist? Gib ein Beispiel eines Operators B an, mit {\rm ker}\, B\neq0 und {\rm im}\, B=\mathcal H.

(6) Für A\in B(\mathcal H) sind äquivalent:

  • A ist eine Isometrie;
  • für alle h\in \mathcal H gilt \|Ah\|=\|h\|;
  • für alle g,h\in \mathcal H gilt \langle Ag,Ah\rangle= \langle g,h\rangle;
  • A^*A=I.

(7) Für A\in B(\mathcal H) sind äquivalent:

  • A ist unitär;
  • A ist eine surjektive Isometrie;
  • A ist eine normale Isometrie;
  • A und A^* sind Isometrien;
  • A ist eine Isometrie und {\rm im}\, A ist dicht.

(8) Sei \mathcal H unendlich-dimensional. Dann ist die Algebra B(\mathcal H) isomorph zu M_2 \big(B(\mathcal H)\big).

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Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.1

Sei stehts {\bf K}\in\{\mathbb C,\mathbb R\} und \mathcal H ein Hilbertraum über {\bf K}.

(1) Seien f,g\in\mathcal H normierte Vektoren, die linear unabhängig sind und t\in (0,1). Zeige, dass \|tf+(1-t)g\|<1 ist.

(2) Sei \varphi: M_n({\bf K})\to {\bf K} ein lineares Funktional. Beweise:

  • es gibt genau eine Matrix B\in M_n({\bf K}) mit \varphi(A)={\rm tr} (A B^H) für alle A\in M_n({\bf K});
  • falls \varphi positiv ist (dh. es bildet positiv semidefinite Matrizen ins \mathbb R_{\geq 0}), dann ist die Matrix B auch positiv semidefinit.

(3) Betrachte den Polynomring {\bf K}[X] als einen Unterraum von L^2([0,1]). Bestimme ein lineares Funktional auf dem Polynomring {\bf K}[X], dass nicht stetig ist.

(4) Beweise: auf jedem unendlich-dimensionalen Hilbertraum existieren unbeschränkte lineare Funktionale. Kannst du ein explizites Beispiel konstruieren?

(5) Ist eine Vektorraumbasis von \ell^2(\mathbb N) abzählbar?

(6) Eine lineare Abbildung A:\mathcal H_1\to\mathcal H_2 zwischen Hilberträumen heißt Isometrie, falls \|A(h)\|=\|h\| für alle h\in H_1. Zeige, dass A eine Isometrie ist genau dann, wenn für alle h,h'\in H_1 gilt \langle A(h),A(h')\rangle = \langle h,h'\rangle.

(7) Finde ein Hilbertraum \mathcal H und eine Isometrie auf \mathcal H, die nicht surjektiv ist.

(8) Seien \mathcal H_1,\mathcal H_2 Hilberträume und U:\mathcal H_1\to\mathcal H_2 eine Surjektion, die das Skalarprodukt erhält. Zeige, dass U linear ist.

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