igor's math Blog

PhD Position

Posted on 16 Sep 2014 by igorklep

Update (2019): No longer work for the University of Auckland. This makes most of the text below obsolete. I’m nevertheless always looking for motivated students. If you are interested, email me.

Update (11 November 2015): The University of Auckland has drastically changed its PhD scholarship system. If you are at a New Zealand university and want to pursue a PhD with me, email me. If your GPA is sufficiently high, you might automatically get a scholarship. If you are overseas, not all is lost; however, international scholarships are now harder to come by.

Original post. This is to advertise a PhD position in mathematics at the University of Auckland in New Zealand. The scholarship is funded by a Marsden Fund Grant and offers an annual stipend of NZ$25,000 (tax free), plus tuition fee, for three years of PhD study.

The successful applicant will be working under my supervision on a topic selected in real algebraic geometry or one of its closely related areas.

Prerequisites

Masters degree or equivalent in Mathematics with excellent grades;
very good knowledge in at least one of the following mathematical fields: algebraic geometry, commutative algebra, convex geometry, optimization, functional analysis;
strong commitment to study the wider mathematical context of the project;
experience in the use of mathematical software is desirable;
good command of English. While this is required on its own, you will need to provide evidence (overall IELTS score of at least 6.5 or equivalent) as required by the University of Auckland if your application is successful.

Application

The application should include a cover letter, an academic CV, a transcript of records, a copy of the master or diploma thesis and the name of a referee (ideally the former supervisor).

Students in the final stage of their studies who do not yet hold a degree may apply anyway and should instead of the thesis provide an excerpt, draft, summary, or similar.

Please send me all application documents and inquiries by email.

Deadline: 11 October 2014

Update (18 October 2014): The deadline has passed. However, if you are looking for a PhD position, please contact me nevertheless. The university has a well established PhD scholarship system, and you may be eligible to apply.

How about Postdoc positions? This is where it gets a little trickier, as the university has a rather unfavorable system of financing. The only opportunity is an annual call for applications (usually in April). If you are interested, please email me.

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Kn.OpAlg: Spektraeder und vollständige positivität

Posted on 15 Jul 2011 by igorklep

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Kn.OpAlg: Operatorräume

Posted on 15 Jul 2011 by igorklep

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Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.-1

Posted on 07 Jul 2011 by igorklep

Erfrischung (8.7.2011): Es gibt jetzt insgesamt 6 Bonusaufgaben.

(1) Sei $\mathcal A$ eine $C^*$ -Algebra und $A\in\mathcal A$ invertierbar. Zeige: $\begin{bmatrix} A& B \\ B^* & D \end{bmatrix} \in M_2(\mathcal A)$ ist positiv genau dann, wenn $A\succeq0$ und $D-B^* A^{-1} B \succeq 0.$

(2) Seien $U,V,X$ beschränkte Operatoren und $U,V$ unitär. Beweise, dass die Matrix $\begin{bmatrix} 1 & U & X \\ U^* & 1 & V \\ X^* & V^* & 1\end{bmatrix}$ positiv ist genau dann, wenn $X=UV$ .

(3) Sei $\mathcal A$ eine $C^*$ -Algebra. Zeige: die Identität $\mathcal A\to \mathcal A^{\rm op}$ ist vollständig positiv genau dann, wenn $\mathcal A$ kommutativ ist.

(4) Sei $\varphi$ eine vollständig positive Abbildung. Beweise: $\varphi(a)^* \varphi(a) \leq \| \varphi(1)\| \, \varphi(a^*a)$ für alle $a$ .

(5) Seien $T_1,\ldots,T_n$ Kontraktionen auf einem Hilbertraum $\mathcal H$ . Beweise: es existiert ein Hilbertraum $\mathcal K$ der $\mathcal H$ enthält und unitäre Operatoren $U_1,\ldots,U_n$ auf $\mathcal K$ mit $T_{i_1}^{k_1}\cdots T_{i_m}^{k_m}= P_{\mathcal H} U_{i_1}^{k_1}\cdots U_{i_m}^{k_m} |_{\mathcal H}$ für alle $m,k_j\in\mathbb N$ und $1\leq i_j \leq n$ .

(6) Betrachte die Abbildung $\phi : M_3\to M_3$ , $[a_{ij}]_{i,j=1}^3 \mapsto 2\, \begin{bmatrix} a_{11}+a_{22} \\ & a_{22}+a_{33} \\ & & a_{33}+a_{11}\end{bmatrix} - [a_{ij}]_{i,j=1}^3.$ Ist $\phi$ positiv? $2$ -positiv? $3$ -positiv? Vollständig positiv?

Bonus-Aufgaben (Abgabetermin: Freitag, der 15.7. vor der Vorlesung)

(-1) Sei $\varphi (A) = \sum_j V_j^* A V_j$ die Choi-Stinespring Darstellung für eine vollständig positive Abbildung zwischen zwei Matrizenalgeben. Was kann man über die $V_j$ sagen, wenn

$\varphi$ unital ist?
$\varphi$ spurerhaltend ist?
$\varphi$ unital und spurerhaltend ist?

(-2) Sei $p= z_1^2+z_2^2+z_3^2-2z_1z_2-2z_1z_3-2z_2z_3\in \mathbb C[z_1,z_2,z_3]$ ein Polynom in drei Unbestimmten. Definiere Matrizen $T_1= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1/\sqrt 3 & -1/\sqrt 3 & -1/\sqrt 3 & 0 \end{bmatrix},$ $T_1= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1/\sqrt 3 & 1/\sqrt 3 & -1/\sqrt 3 & 0 \end{bmatrix}$ und
$T_3= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1/\sqrt 3 & -1/\sqrt 3 & 1/\sqrt 3 & 0 \end{bmatrix}.$

Zeige: $T_1,T_2,T_3$ sind kommutierende Kontraktionen.
Bestimme $\|p\|_\infty := \sup \{ | p(z_1,z_2,z_2) | \mid z_1,z_2,z_3\in\mathbb D\}$ .
Was ist $\| p(T_1,T_2,T_3)\|$ ?

(-3) Wann ist $\|T\|\leq1$ für $T=\begin{bmatrix} a & b & c \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & a\end{bmatrix}\in M_3$ ?

(-4) Sei $\mathcal A$ eine Algebra über $\mathbb C$ und $\phi:\mathcal A\to\mathbb C$ ein lineares Funktional. Falls für alle $a\in\mathcal A$ gilt $\phi(a^2)=\phi(a)^2$ , dann ist $\phi$ ein Homomorphismus.

(-5) Sei $\mathcal H$ ein Hilbertraum und $T\in B(\mathcal H)$ . Beweise, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

$r(T)<1$ ;
es existiert ein $m\in\mathbb N$ mit $\|T^m\|<1$ ;
für alle $x\in\mathcal H$ gilt $\sum_{n\in\mathbb N} \|T^n(x)\|<\infty$ .

(-6) Sei $\mathcal A$ eine $C^*$ -Algebra. Falls für alle $a\in\mathcal A$ aus $a^2=0$ folgt $a=0$ , dann ist $\mathcal A$ kommutativ.

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Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.10

Posted on 30 Jun 2011 by igorklep

(1) Sei $e_n (n\in\mathbb N)$ die standard Orthonormalbasis von $\ell^2$ . Definiere für jedes $T\in B(\ell^2)$ eine lineare Abbildung $T^t:\ell^2\to\ell^2$ durch $\langle T^te_j,e_i\rangle= \overline{ \langle T^*e_j,e_i\rangle}$ . Zeige, dass $T^t\in B(\ell^2)$ . Sei $\phi: B(\ell^2)\to B(\ell^2)$ , $T\mapsto T^t$ . Beweise, dass $\phi$ eine positive lineare Abbildung ist, und $\|\phi_n\|=n$ für alle $n\in\mathbb N$ .

(2) Sei $\mathcal A$ eine $C^*$ -Algebra und $\begin{bmatrix} p & a \\ a^* & p\end{bmatrix} \in M_2(\mathcal A)_+$ . Zeige, dass $\|a\|\leq\|p\|$ .

Sei $A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^n\in M_n$ . Dann wird durch das Hadamard-Produkt $M_n\ni B=[b_{i,j}]_{i,j} \mapsto A*B=[a_{i,j}\cdot b_{i,j}]_{i,j=1}^n$ eine lineare Abbildung $S_A:M_n\to M_n$ induziert.

(3) Beweise, dass für $A\in M_n$ die folgenden Aussagen äquivalent sind:

$A$ ist positiv;
$S_A$ ist positiv;
$S_A$ ist vollständig positiv.

(4) Zu jeder $C^*$ -Algebra $\mathcal A$ sei $\mathcal A^{\rm op}$ die Menge $\mathcal A$ mit der selben Norm, Addition und Involution aber mit der Multiplikation $a\circ b:=b\cdot a$ . Zeige:

$\mathcal A^{\rm op}$ ist eine $C^*$ -Algebra;
$M_2$ und $M_2^{\rm op}$ sind $*$ -isomorph;
Die Identität $M_2\to M_2^{\rm op}$ ist positiv aber nicht $2$ -positiv;
Die Identität $\mathcal A\to \mathcal A^{\rm op}$ ist vollständig positiv genau dann, wenn $\mathcal A$ kommutativ ist.

(5) Sei $\mathcal M$ ein linearer Teilraum einer $C^*$ -Algebra und $\varphi:\mathcal M\to M_n$ eine beschränkte lineare Abbildung. Beweise $\|\varphi\|_{\rm cb}\leq n\|\varphi\|$ .

(6) Sei $\mathcal A$ eine $C^*$ -Algebra und ${\rm Tr}\,: M_n(\mathcal A)\to \mathcal A$ die Spur $[a_{i,j}]_{i,j=1}^n \mapsto \sum_{j=1}^n a_{ii}$ . Ist ${\rm Tr}$ vollständig positiv?

(7) Sei $\mathcal A$ eine $C^*$ -Algebra und $A\in\mathcal A$ invertierbar. Zeige: $\begin{bmatrix} A& B \\ B^* & D \end{bmatrix} \in M_2(\mathcal A)$ ist positiv genau dann, wenn $A\succeq0$ und $D-B^* A^{-1} B \succeq 0.$

(8) Auf $M_n=M_n(\mathbb C)$ betrachten wir die Transponierung $A\mapsto A^t$ . Zeige: $A$ ist positiv genau dann, wenn $A^t$ positiv ist. Es gilt $\|A\|=\|A^t\|$ .

Bonus-Aufgaben (Abgabetermin: irgendwann vor der Prüfung)

(-1) Wann ist $\|T\|\leq1$ für $T=\begin{bmatrix} a & b & c \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & a\end{bmatrix}\in M_3$ ?

(-2) Sei $\mathcal A$ eine Algebra über $\mathbb C$ und $\phi:\mathcal A\to\mathbb C$ ein lineares Funktional. Falls für alle $a\in\mathcal A$ gilt $\phi(a^2)=\phi(a)^2$ , dann ist $\phi$ ein Homomorphismus.

(-3) Sei $\mathcal H$ ein Hilbertraum und $T\in B(\mathcal H)$ . Beweise, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

$r(T)<1$ ;
es existiert ein $m\in\mathbb N$ mit $\|T^m\|<1$ ;
für alle $x\in\mathcal H$ gilt $\sum_{n\in\mathbb N} \|T^n(x)\|<\infty$ .

(-4) Sei $\mathcal A$ eine $C^*$ -Algebra. Falls für alle $a\in\mathcal A$ aus $a^2=0$ folgt $a=0$ , dann ist $\mathcal A$ kommutativ.

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Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.9

Posted on 23 Jun 2011 by igorklep

$\mathcal H$ ist stets ein Hilbertraum. Alle Hilbertäume etc. sind über $\mathbb C$ .

(1) Sei $\mathcal S$ ein Operatorsystem in einer $C^*$ -Algebra $\mathcal A$ und $\varphi:\mathcal S\to\mathbb C$ ein positives Funktional. Beweise: $\varphi$ erweitert zu einem positiven Funktional auf $\mathcal A$ .

(2) Benutze das Beispiel von Arveson um eine positive Abbildung anzugeben (deren Werte nicht alle in $\mathbb C$ liegen!), die man nicht zu einer positiven Abbildung auf der ganzen Algebra erweitern kann.

(3) Sei $V$ eine Isometrie auf $\mathcal H$ und $P=I-VV^* \in B(\mathcal H)$ . (Frage: was ist die geometrische Interpretation von $P$ ?). Auf $\mathcal K:=\mathcal H\oplus\mathcal H$ definiere $U=\begin{bmatrix} V & P \\ 0 & V^*\end{bmatrix}$ . Zeige:

$U$ ist unitär.
wir identifizieren $\mathcal H$ mit $\mathcal H\oplus\{0\}\subseteq \mathcal K$ . Dann gilt für alle $n\in\mathbb N$ : $V^n= P_{\mathcal H} U^n |_{\mathcal H}$ .
Ist $V^*$ die Restriktion von $U^*$ ?

(4) Sei $T\in B(\mathcal H)$ eine Kontraktion und $D_T = (I-T^*T)^{1/2}$ . Auf $\ell^2(\mathcal H)$ definieren wir $V$ mit $V(h_1,h_2,\ldots) = (Th_1, D_Th_1, h_2, \ldots)$ . Beweise:

$V$ ist eine Isometrie.
wir identifizieren $\mathcal H$ mit $\mathcal H\oplus\{0\}\oplus\{0\}\oplus\cdots\subseteq \ell^2(\mathcal H)$ . Dann gilt für alle $n\in\mathbb N$ : $T^n= P_{\mathcal H} V^n |_{\mathcal H}$ .

(5) Sei $T\in B(\mathcal H)$ eine Kontraktion. Zeige: es existiert ein Hilbertraum $\mathcal K$ der $\mathcal H$ enthält und ein unitärer Operator $U$ auf $\mathcal K$ , so daß $T^n= P_{\mathcal H} U^n |_{\mathcal H}$ für alle $n\in\mathbb N$ .

(6) Mit Hilfe der Aufgabe (5) und des Spektralabbildungssatzes gib einen neuen Beweis der Ungleichung von von Neumann.

(7) Sei $\mathcal S$ ein Operatorsystem und $\phi:\mathcal S\to B(\mathcal H)$ eine unitale positive Abbilduing. Beweise, daß $w\big(\phi(a)\big)\leq \|a\|$ für alle $a\in\mathcal S$ .

Bonus-Aufgaben (Abgabetermin: irgendwann vor der Prüfung)

(-0) Wann ist $\|T\|\leq1$ für $T=\begin{bmatrix} a & b & c \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & a\end{bmatrix}\in M_3$ ?

(-1) Sei $\mathcal A$ eine Algebra über $\mathbb C$ und $\phi:\mathcal A\to\mathbb C$ ein lineares Funktional. Falls für alle $a\in\mathcal A$ gilt $\phi(a^2)=\phi(a)^2$ , dann ist $\phi$ ein Homomorphismus.

(-2) Sei $\mathcal H$ ein Hilbertraum und $T\in B(\mathcal H)$ . Beweise, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

$r(T)<1$ ;
es existiert ein $m\in\mathbb N$ mit $\|T^m\|<1$ ;
für alle $x\in\mathcal H$ gilt $\sum_{n\in\mathbb N} \|T^n(x)\|<\infty$ .

(-3) Sei $\mathcal A$ eine $C^*$ -Algebra. Falls für alle $a\in\mathcal A$ aus $a^2=0$ folgt $a=0$ , dann ist $\mathcal A$ kommutativ.

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Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.8

Posted on 09 Jun 2011 by igorklep

Abgabetermin: 17.6. vor der Vorlesung.

(1) Gibt es eine $C^*$ -Algebra $\mathcal A$ in der Elemente $a,b$ existieren mit $ab-ba=1$ ? (Hinweis: Berechne $A^mB-BA^m$ .)

(2) Fixiere $n\in\mathbb N$ und seien $E_{i,j}$ die Matrizen-Einheiten. Definiere $A=[E_{j,i}]_{i,j=1}^n$ und $B=[E_{i,j}]_{i,j=1}^n$ aus $M_n(M_n)$ . Beweise: $A$ ist unitär und $\frac 1n B$ ist eine Rang 1 Projektion.

(3) Wann ist $\|T\|\leq1$ für $T=\begin{bmatrix} a & b & c \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & a\end{bmatrix}\in M_3$ ?

Erinnerung: Der numerischer Radius von $T\in B(\mathcal H)$ ist $w(T)=\sup \big\{ | \langle Tx,x\rangle | \mid x\in\mathcal H, \, \|x\|\leq 1\big\}$ .

(4) Sei $T\in B(\mathcal H)$ . Zeige: $w(T)\leq1$ $\Leftrightarrow$ $2+(\lambda T)+(\lambda T)^* \succeq0$ für alle $\lambda\in\partial \mathbb D$ .

(5) Beweise: $w$ ist eine Norm auf $B(\mathcal H)$ . Es gilt $w(T)\leq \|T\|\leq 2 w(T)$ für alle $T\in B(\mathcal H)$ . Zeige, dass auf beiden Seiten die Gleichung erreicht wird.

(6) Sei $p\in\mathbb C[z]$ ein Polynom. Nehme an, ${\rm Im}\, p\big( e^{i \theta}\big)=0$ für alle $\theta\in\mathbb R$ . Zeige, dass $p$ eine reelle Konstante ist.

(7) Sei $X$ ein kompakter Hausdorff-Raum, $\mathcal S$ ein Operatorsystem, und $\phi:\mathcal S\to C(X)$ positiv. Beweise, dass $\|\phi\|\leq\|\phi(1)\|$ .

Bonus-Aufgaben (Abgabetermin: irgendwann vor der Prüfung)

(-2) Sei $\mathcal H$ ein Hilbertraum und $T\in B(\mathcal H)$ . Beweise, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

$r(T)<1$ ;
es existiert ein $m\in\mathbb N$ mit $\|T^m\|<1$ ;
für alle $x\in\mathcal H$ gilt $\sum_{n\in\mathbb N} \|T^n(x)\|<\infty$ .

(-3) Sei $\mathcal A$ eine $C^*$ -Algebra. Falls für alle $a\in\mathcal A$ aus $a^2=0$ folgt $a=0$ , dann ist $\mathcal A$ kommutativ.

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Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.7

Posted on 03 Jun 2011 by igorklep

Sei $\mathcal A$ stets eine $C^*$ -Algebra mit $1$ .

(1) Sei $f:\mathcal A\to\mathbb C$ ein positives Funktional und $\alpha\in\mathbb R_{>0}$ . Beweise, dass $\pi_f$ und $\pi_{\alpha f}$ äquivalente Darstellungen sind.

(2) Zeige: für $a\in\mathcal A$ gilt $a\in\mathcal A_+$ genau dann, wenn $f(a)\geq0$ für alle Zustände $f$ .

(3) Beweise: jedes Element einer $C^*$ -Algebra $\mathcal A$ ist die lineare Kombination von 4 Elementen aus $\mathcal A_+$ .

(4) Zeige: für $h=h^*\in\mathcal A$ ist $u:=\exp(i\, h)$ unitär. Falls $u\in\mathcal A$ unitär ist und $\sigma (u) \subsetneq\partial\mathbb D$ , dann gilt auch die Umkehrung: es existiert ein $h=h^*\in\mathcal A$ mit $u=\exp(i\, h)$ .

(5) Beweise: der Durchschnitt aller maximalen Linksideale von $\mathcal A$ ist $\{0\}$ .

(6) Existieren in $\mathcal A$ Elemente $a,b$ mit $ab-ba=1$ ?

(7) Sei $\mathcal I$ ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal von $\mathcal A$ . Zeige, dass es eine Darstellung $\pi$ von $\mathcal A$ gibt mit ${\rm Ker}\, \pi=\mathcal I$ .

Bonus-Aufgaben:

(-2) Sei $\mathcal H$ ein Hilbertraum und $T\in B(\mathcal H)$ . Beweise, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

$r(T)<1$ ;
es existiert ein $m\in\mathbb N$ mit $\|T^m\|<1$ ;
für alle $x\in\mathcal H$ gilt $\sum_{n\in\mathbb N} \|T^n(x)\|<\infty$ .

(-3) Falls für alle $a\in\mathcal A$ aus $a^2=0$ folgt $a=0$ , dann ist $\mathcal A$ kommutativ.

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Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.6

Posted on 27 May 2011 by igorklep

Erfrischung (27.5.2011): Aufgabe (0) ist neu.

(0) Singulärwertzerlegung einer Matrix: Sei $\bf K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}$ und $A\in M_{m,n}(\bf K)$ . Dann gibt es unitäre Matrizen $U\in M_m(\bf K)$ und $V\in M_n(\bf K)$ mit $A=U \Sigma V^*$ , wo $\Sigma \in M_{m,n}(\mathbb R_{\geq0})$ eine diagonale Matrix ist.

Sei $\mathcal A$ stets eine $C^*$ -Algebra mit $1$ .

(1) Für $a=a^*\in \mathcal A$ gilt $|a|:= (a^*a)^{\frac 12}=a_++a_-$ .

(2) Für $a\in\mathcal A_+$ ist $x^*ax\in\mathcal A_+$ für alle $x\in\mathcal A$ .

(3) Seien $a,b\in\mathcal A$ und $0\leq a\leq b$ . Wenn $a$ invertierbar ist, dann ist auch $b$ invertierbar und $b^{-1}\leq a^{-1}$ .

(4) Jedes $a=a^*\in \mathcal A$ mit $\|a\|\leq1$ ist die Summe zweier unitärer Elemente.

(5) Finde eine $C^*$ -Algebra $\mathcal A$ und zwei Elemente $a,b\in\mathcal A_+$ mit $a\leq b$ aber $a^2\not\leq b^2$ .

(6) Folgt aus $a,b\in\mathcal A_+$ , dass $ab\in\mathcal A_+$ ? Was wenn $a,b$ kommutieren?

Bonus-Aufgaben:

(-2) Sei $\mathcal H$ ein Hilbertraum und $T\in B(\mathcal H)$ . Beweise, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

$r(T)<1$ ;
es existiert ein $m\in\mathbb N$ mit $\|T^m\|<1$ ;
für alle $x\in\mathcal H$ gilt $\sum_{n\in\mathbb N} \|T^n(x)\|<\infty$ .

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Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.5

Posted on 19 May 2011 by igorklep

(1) Sei $\mathcal A$ eine Banachalgebra mit $1$ . Wie in der Vorlesung definiere zu $a\in\mathcal A$ die Links- und Rechtsmultiplikation $L_a,R_a\in B(\mathcal A)$ . Zeige: $\sigma(a)=\sigma(L_a)=\sigma(R_a)$ .

(2) Für einen kompakten $T_2$ Raum $X$ bestimme die maximalen Ideale von $C(X)$ .

Sei $\mathbb D:=\{z\in\mathbb C\mid |z|\leq1\}$ , $\text{Int } \mathbb D:=\{z\in\mathbb C\mid |z|< 1\}$ und $\partial\mathbb D:=\{z\in\mathbb C\mid |z|=1\}$ .

(3) Sei $\mathcal H$ ein Hilbertraum und $T\in B(\mathcal H)$ eine Isometrie. Zeige, dass $\sigma(T)=\mathbb D$ oder $\sigma(T)\subseteq \partial \mathbb D$ .

(4) Sei $\mathcal H$ ein komplexer Hilbertraum und $T\in B(\mathcal H)$ . Beweise, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

$r(T)<1$ ;
es existiert ein $m\in\mathbb N$ mit $\|T^m\|<1$ ;
für alle $x\in\mathcal H$ gilt $\sum_{n\in\mathbb N} \|T^n(x)\|<\infty$ .

(5) Betrachte den Ring $C(X)$ aller stetigen Funktionen auf einem kompakten Hausdorff-Raum $X$ . Zeige: für jede stetige Funktion $f\in C(X)$ gibt es eindeutige $g,h\in C(X)$ mit:

$f=g-h$ ;
$gh=0$ ;
für alle $x\in X$ gilt $g(x)\geq0$ und $h(x)\geq0$ .

(6) Sei $\mathcal A:=\{f\in C(\mathbb D) \mid f \text{ ist analytisch auf Int }\mathbb D\}$ . Für $f\in \mathcal A$ definiere $f^*$ mit $f^*(z)= \overline {f(\bar z)}$ . Beweise: