Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.7

Sei \mathcal A stets eine C^*-Algebra mit 1.

(1) Sei f:\mathcal A\to\mathbb C ein positives Funktional und \alpha\in\mathbb R_{>0}. Beweise, dass \pi_f und \pi_{\alpha f} äquivalente Darstellungen sind.

(2) Zeige: für a\in\mathcal A gilt a\in\mathcal A_+ genau dann, wenn f(a)\geq0 für alle Zustände f.

(3) Beweise: jedes Element einer C^*-Algebra \mathcal A ist die lineare Kombination von 4 Elementen aus \mathcal A_+.

(4) Zeige: für h=h^*\in\mathcal A ist u:=\exp(i\, h) unitär. Falls u\in\mathcal A unitär ist und \sigma (u) \subsetneq\partial\mathbb D, dann gilt auch die Umkehrung: es existiert ein h=h^*\in\mathcal A mit u=\exp(i\, h).

(5) Beweise: der Durchschnitt aller maximalen Linksideale von \mathcal A ist \{0\}.

(6) Existieren in \mathcal A Elemente a,b mit ab-ba=1?

(7) Sei \mathcal I ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal von \mathcal A. Zeige, dass es eine Darstellung \pi von \mathcal A gibt mit {\rm Ker}\, \pi=\mathcal I.

Bonus-Aufgaben:

(-1) Sei \mathcal A eine Algebra über \mathbb C und \phi:\mathcal A\to\mathbb C ein lineares Funktional. Falls für alle a\in\mathcal A gilt \phi(a^2)=\phi(a)^2, dann ist \phi ein Homomorphismus.

(-2) Sei \mathcal H ein Hilbertraum und T\in B(\mathcal H). Beweise, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

  • r(T)<1;
  • es existiert ein m\in\mathbb N mit \|T^m\|<1;
  • für alle x\in\mathcal H gilt \sum_{n\in\mathbb N} \|T^n(x)\|<\infty.

(-3) Falls für alle a\in\mathcal A aus a^2=0 folgt a=0, dann ist \mathcal A kommutativ.

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