Predavanje LA.10: Linearni preslikavi prirejena matrika

Posted on 24 Mar 2009 by igorklep

Poglavje III: Linearne preslikave in matrike

III.1. Matriki prirejena linearna preslikava

Spomnimo se, da lahko n\times r matriki A priredimo linearno preslikavo \mathcal A_A\in \mathcal L(\mathbb F^r,\mathbb F^n), ki vektor x\in\mathbb F^r pošlje v Ax\in\mathbb F^n.

Trditev: Preslikava A\mapsto \mathcal A_A, ki slika \mathbb M_{n\times r}(\mathbb F)\to \mathcal L(\mathbb F^r,\mathbb F^n), je injektivna. Z drugimi besedami: če je \mathcal A_A=\mathcal A_B za neki matriki A,B\in M_{n\times r}(\mathbb F), potem je A=B.

Zgled:

  1. Če je A ničelna matrika, potem je \mathcal A_A ničelna preslikava.
  2. Če je A identična matrike, potem je \mathcal A_A identična preslikava.

III.2 Linearni preslikavi prirejena matrika

Naj bo \mathcal A:U\to V linearna preslikava. Izberimo bazo \mathcal B=\{u_1,\ldots, u_n\} za U in \mathcal C=\{v_1,\ldots, v_m\} za V. Poglejmo si

\mathcal A(u_1)=a_{11} v_1+ a_{21} v_2 + \cdots + a_{m1} v_m

\mathcal A(u_2)=a_{12} v_1+ a_{22} v_2 + \cdots + a_{m2} v_m

\quad \quad \vdots

\mathcal A(u_n)=a_{1n} v_1+ a_{2n} v_2 + \cdots + a_{mn} v_m.

Elemente a_{ij} postavimo v matriko A=\mathcal A[\mathcal B,\mathcal C] = [a_{ij}]_{\tiny\begin{array}{c}i=1,\ldots,m \\ j=1,\ldots,n \end{array}}. Torej je A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}. Tej matriki pravimo matrika preslikave \mathcal A glede na urejeni bazi u_1,\ldots,u_n in v_1,\ldots,v_m.

Zgled:

  1. Naj bo \mathcal A:\mathbb R^3\to\mathbb R^2 linearna preslikava \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} x_1-2 x_2 \\ x_2-3 x_3\end{bmatrix}. Glede na standardni bazi prostorov \mathbb R^3, \mathbb R^2, je matrika preslikave \mathcal A enaka A=\begin{bmatrix} 1& -2 & 0 \\ 0 &2 & -3\end{bmatrix}.
  2. Naj bo \mathcal A:\mathbb R[X]_{\leq 3}\to\mathbb R[X]_{\leq 3} odvajanje p\mapsto p'. Oglejmo si naslednji bazi prostora \mathbb R[X]_{\leq 3}: \mathcal B= \{1,X,X^2,X^3\} in \mathcal C=\{1,X,3X^2-1,5X^3-3X\}. Potem velja \mathcal A[\mathcal B,\mathcal B]=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 2 & 0 \\ 0& 0 &0 & 3 \\ 0& 0& 0& 0\end{bmatrix}, \mathcal A[\mathcal B,\mathcal C]=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 1 \\ 0& 0 & 2 & 0 \\ 0& 0 &0 & 1 \\ 0& 0& 0& 0\end{bmatrix}, \mathcal A[\mathcal C,\mathcal B]=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0& 0 & 6 & 0 \\ 0& 0 &0 & 15 \\ 0& 0& 0& 0\end{bmatrix} in \mathcal A[\mathcal C,\mathcal C]=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 2 \\ 0& 0 & 6& 0 \\ 0& 0 &0 &5 \\ 0& 0& 0& 0\end{bmatrix}.

Naj bo A=\mathcal A[\mathcal B,\mathcal C], kjer smo privzeli oznake z začetka tega razdelka. Potem za poljuben u\in U, u=\sum_{j=1}^n \alpha_j u_j velja \mathcal A(u)=\mathcal A(\sum_{j=1}^n \alpha_j u_j)=\sum_{j=1}^n \alpha_j \mathcal A(u_j)=\sum_{j=1}^n \alpha_j \sum_{i=1}^m a_{ij} v_i = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m \alpha_j a_{ij} v_i= \sum_{i=1}^m (\sum_{j=1}^n \alpha_j a_{ij}) v_i.

Če torej zapišemo \mathcal A(u)=\sum_{i=1}^m \beta_i v_i, potem je \beta_i=\sum_{j=1}^n a_{ij}\alpha_j=A_{(i)}\alpha, kjer smo z A_{(i)} označili i-to vrstico matrike A, \alpha pa je vektor \begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n\end{bmatrix}. Povzetek: izračun \mathcal A(u) lahko prevedemo na matrični račun.

Zgled: Vrnimo se na odvajanje \mathcal A:\mathbb R[X]_{\leq 3}\to\mathbb R[X]_{\leq 3}. Izračunajmo \mathcal A(5-7X+X^2-X^3). Argument razvijemo po standardni bazi in dobimo \alpha=\begin{bmatrix} 5 \\ -7 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}. Potem je \beta=\begin{bmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \\ \beta_4 \end{bmatrix}= \mathcal A[\mathcal B,\mathcal B] \alpha =\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 2 & 0 \\ 0& 0 &0 & 3 \\ 0& 0& 0& 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 \\ -7 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 \\ 2 \\ -3 \\ 0 \end{bmatrix}. Torej je \mathcal A(5-7X+X^2-X^3)=-7+2X-3X^2.

This entry was posted in Linearna algebra (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a comment