Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.4

Bezeichnung: \mathcal H ist stets ein Hilbertraum über \mathbb C.

(1) Sei \mathcal A eine Banachalgebra mit 1 und a,b\in\mathcal A. Zeige, dass \sigma(ab)\cup\{0\}=\sigma(ba)\cup\{0\}. Gilt auch \sigma(ab)=\sigma(ba)?

(2) Für den Rechtsshift S:\ell^2\to\ell^2 bestimme \sigma(S) und \sigma_p(S).

(3) Zeige: falls \dim\mathcal H>1, dann gibt es keine nicht-trivialen linearen Funktionale B(\mathcal H)\to{\bf K}, die multiplikativ sind.

(4) Sei \phi stetig auf [0,1] und M_\phi der Multiplikationsoperator auf L^2([0,1]). Bestimme das Spektrum von M_\phi.

(5) Für eine Projektion E\neq 0,1 auf \mathcal H bestimme \sigma(E).

(6) Sei \mathcal A eine Banachalgebra mit 1. Wie in der Vorlesung definiere zu a\in\mathcal A die Links- und Rechtsmultiplikation L_a,R_a\in B(\mathcal A). Zeige: \sigma(a)=\sigma(L_a)=\sigma(R_a).

(7) Sei \mathcal A eine Algebra über \mathbb C und \phi:\mathcal A\to\mathbb C ein lineares Funktional. Falls für alle x\in\mathcal A gilt \phi(a^2)=\phi(a)^2, dann ist \phi ein Homomorphismus.

(8) Für einen kompakten T_2 Raum X bestimme die maximalen Ideale von C(X).

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