Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.3

Änderung (9.5.): p=2 in Aufgabe 7.

Änderung (10.5.): In 2 und 4 werden Idempotente gesucht (und nicht Projektionen).

Bezeichnung: \mathcal H ist stets ein Hilbertraum über {\bf K}\in\{\mathbb R,\mathbb C\}.

(1) Seien P,Q\in B(\mathcal H) Projektionen. Beweise: PQ=QP genau dann, wenn P+Q-PQ eine Projektion ist. Dann gilt {\rm im}\, (P+Q-PQ)={\rm im}\, P +{\rm im}\, Q und {\rm ker}\, (P+Q-PQ)={\rm ker}\, P \cap{\rm ker}\, Q.

(2) Sei \mathcal H=\mathbb R^2, \mathcal H'=\mathbb R\times\{0\} und \mathcal H''= \{(x, x \tan \phi) \mid x\in\mathbb R\} für ein 0<\phi<\frac{\pi}2. Bestimme eine explizite Formel für den Idempotenten E_\phi:\mathcal H\to\mathcal H mit {\rm im}\,E=\mathcal H' und {\rm ker}\,E=\mathcal H''. Was ist \|E_\phi\|?

(3) Sei A\in B(\mathcal H) normal. Beweise:

  • Für \lambda\in{\bf K} ist {\rm ker}\,(A-\lambda) reduzierend für A.
  • Falls \lambda,\mu\in{\bf K} zwei verschiedene Eigenwerte von A sind, dann gilt {\rm ker}\,(A-\lambda) \perp {\rm ker}\,(A-\mu).
  • Nehme an A ist sogar selbst-adjungiert. Dann ist \sigma_p(A)\subseteq \mathbb R.

(4) Seien \mathcal H',\mathcal H'' abgeschlossene lineare Teilräume von \mathcal H mit \mathcal H'\cap\mathcal H''=\{0\} und \mathcal H' + \mathcal H''=\mathcal H. Beweise: es existiert genau ein Idempotent P\in B(\mathcal H) mit {\rm ker}\, P=\mathcal H' und {\rm im}\, P=\mathcal H''.

(5) Sei V der Volterraoperator auf L^2([0,1]). Bestimme \sigma_p(V).

(6) Sei \mathcal A eine Banachalgebra mit 1 und a,b\in\mathcal A. Zeige, dass \sigma(ab)\cup\{0\}=\sigma(ba)\cup\{0\}. Gilt auch \sigma(ab)=\sigma(ba)?

(7) Für den Rechtsshift S:\ell^2\to\ell^2 bestimme \sigma(S) und \sigma_p(S).

(8) Zeige: falls \dim\mathcal H>1, dann gibt es keine nicht-trivialen linearen Funktionale B(\mathcal H)\to{\bf K}, die multiplikativ sind.

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