Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.2

Sei stehts {\bf K}\in\{\mathbb C,\mathbb R\} und \mathcal H,\mathcal K, \mathcal L Hilberträume über {\bf K}.

(1) Für alle A,B \in B(\mathcal H,\mathcal K) und \alpha\in {\bf K} gilt \|A+B\|\leq \|A\|+\|B\| und \|\alpha\, A\|= |\alpha| \, \|A\|. Falls A\in B(\mathcal H,\mathcal K) und B\in B(\mathcal K,\mathcal L), dann ist \|B\, A\|\leq \|B\|\, \|A\|.

(2) Sei \{e_n\mid n\in\mathbb N\} die Standardorthonormalbasis von \ell^2. Beweise: es existiert ein A\in B(\ell^2) mit Ae_n=\alpha_n e_n für alle n\in\mathbb N genau dann, wenn \alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\ldots) \in \ell^\infty. Dann gilt \|A\|=\|\alpha\|_\infty.

(3) Bestimme A^* für den Operator A aus (2).

(4) Sei \mathcal H ein \mathbb C-Hilbertraum und A \in B(\mathcal H). Falls A=B+i C ist für selbst-adjungierte B,C\in B(\mathcal H), dann gilt B=\frac {A+A^*}2 und C=\frac {A-A^*}{2i\;}.

(5) Falls A\in B(\mathcal H) normal ist, dann gilt: A ist injektiv \Leftrightarrow das Bild von A ist dicht in \mathcal H. Stimmt die Aussage auch wenn A nicht normal ist? Gib ein Beispiel eines Operators B an, mit {\rm ker}\, B\neq0 und {\rm im}\, B=\mathcal H.

(6) Für A\in B(\mathcal H) sind äquivalent:

  • A ist eine Isometrie;
  • für alle h\in \mathcal H gilt \|Ah\|=\|h\|;
  • für alle g,h\in \mathcal H gilt \langle Ag,Ah\rangle= \langle g,h\rangle;
  • A^*A=I.

(7) Für A\in B(\mathcal H) sind äquivalent:

  • A ist unitär;
  • A ist eine surjektive Isometrie;
  • A ist eine normale Isometrie;
  • A und A^* sind Isometrien;
  • A ist eine Isometrie und {\rm im}\, A ist dicht.

(8) Sei \mathcal H unendlich-dimensional. Dann ist die Algebra B(\mathcal H) isomorph zu M_2 \big(B(\mathcal H)\big).

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