Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.1

Sei stehts {\bf K}\in\{\mathbb C,\mathbb R\} und \mathcal H ein Hilbertraum über {\bf K}.

(1) Seien f,g\in\mathcal H normierte Vektoren, die linear unabhängig sind und t\in (0,1). Zeige, dass \|tf+(1-t)g\|<1 ist.

(2) Sei \varphi: M_n({\bf K})\to {\bf K} ein lineares Funktional. Beweise:

  • es gibt genau eine Matrix B\in M_n({\bf K}) mit \varphi(A)={\rm tr} (A B^H) für alle A\in M_n({\bf K});
  • falls \varphi positiv ist (dh. es bildet positiv semidefinite Matrizen ins \mathbb R_{\geq 0}), dann ist die Matrix B auch positiv semidefinit.

(3) Betrachte den Polynomring {\bf K}[X] als einen Unterraum von L^2([0,1]). Bestimme ein lineares Funktional auf dem Polynomring {\bf K}[X], dass nicht stetig ist.

(4) Beweise: auf jedem unendlich-dimensionalen Hilbertraum existieren unbeschränkte lineare Funktionale. Kannst du ein explizites Beispiel konstruieren?

(5) Ist eine Vektorraumbasis von \ell^2(\mathbb N) abzählbar?

(6) Eine lineare Abbildung A:\mathcal H_1\to\mathcal H_2 zwischen Hilberträumen heißt Isometrie, falls \|A(h)\|=\|h\| für alle h\in H_1. Zeige, dass A eine Isometrie ist genau dann, wenn für alle h,h'\in H_1 gilt \langle A(h),A(h')\rangle = \langle h,h'\rangle.

(7) Finde ein Hilbertraum \mathcal H und eine Isometrie auf \mathcal H, die nicht surjektiv ist.

(8) Seien \mathcal H_1,\mathcal H_2 Hilberträume und U:\mathcal H_1\to\mathcal H_2 eine Surjektion, die das Skalarprodukt erhält. Zeige, dass U linear ist.

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