RAG10: 5.domača naloga

  1. Naj bo X kompakten T_2 topološki prostor. Pokaži, da je preslikava X\to \big({\rm Sper}\, \mathcal C(X,\mathbb R)\big)^{\rm max}, x\mapsto P_x:=\{ f\in \mathcal C(X,\mathbb R)\mid f(x)\geq 0\} homeomorfizem. Za I=[0,1]\subseteq\mathbb R poskusi čim bolj konkretno podati primer ureditve P\in {\rm Sper}\, \mathcal C(I,\mathbb R)\setminus \big({\rm Sper}\, \mathcal C(I,\mathbb R)\big)^{\rm max}.
  2. Naj bo F obseg. Pokaži, da je vsaka predureditev v F presek ureditev. Ali je predureditev T_{\{X^3\}}\subseteq \mathbb R[X]  presek ureditev?
  3. Opiši vse zapise polinoma X^4+1 kot vsote kvadratov.
  4. Naj bo p=X^8+ \alpha X^4 Y^4+Y^8\in\mathbb R[X,Y]. Za katere \alpha\in\mathbb R je p vsota četrtih potenc?
  5. Naj bodo f,h_1,\ldots,h_s\in \mathbb R[X_1,\ldots,X_n] linearni polinomi, za katere velja K:=K_{\{h_1,\ldots,h_s\}}\neq\varnothing in f|_K\geq 0. Pokaži, da obstajajo b_0,\ldots,b_s\in\mathbb R_{\geq 0}, za katere velja f=b_0+b_1 h_1+\cdots b_s h_s.
  6. Dokončaj dokaz izreka 2.19.
  7. Izpelji naslednjo izboljšavo Artinove rešitve Hilbertovega 17.problema: če za f\in\mathbb R[\bar X] velja f|_{\mathbb R^n}\geq0, potem obstajata 0\neq h\in\mathbb R[\bar X] in \sigma \in \Sigma \mathbb R[\bar X]^2 z h^2 f=\sigma in h^{-1}(0)\subseteq f^{-1}(0).
  8. Naj bo f=f^*\in\mathbb R\langle\bar X\rangle nekomutativen polinom in denimo, da za vse n-terice realnih simetričnih matrik \bar A\in (\mathbb R^{s\times s})^n velja {\rm tr}\, f(\bar A)=0. Pokaži, da je f vsota komutatorjev.
  9. Dokaži, da ima kategorija urejenih obsegov lastnost amalgamiranja: za vse urejene obsege (F,\leq), (K_i,\leq_i) za i=1,2, in urejenostne vložitve \varphi_i:(F,\leq)\to (K_i,\leq_i), obstaja urejen obseg (L,\leq) in take urejenostne vložitve \psi_i:(K_i,\leq_i)\to (L,\leq), da je \psi_1\circ \varphi_1=\psi_2\circ \varphi_2. (Koristno si je narisati diagram.)

Naloge je potrebno oddati ob pristopu na izpit (=zagovor domačih nalog).

This entry was posted in Pedagoško delo, Realna algebraična geometrija (FMF), Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s