Predavanje MatR10.12: Determinanta

Pri delu s permutacijami je elegantno uporabljati cikle.

Definicija: Naj za \pi\in S_n velja \pi(x_1)=x_2, \pi(x_2)=x_3, \ldots, \pi(x_{k-1})=x_k, \pi(x_k)=x_1, za vse j\in\{1,\ldots n\}\setminus\{x_1,\ldots,x_k\} pa velja \pi(j)=j. Potem \pi imenujemo cikel dolzine k in zapisemo \pi=\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_k\end{pmatrix}. Cikel dolzine 2 je transpozicija.

Izrek: Vsaka permutacija je produkt disjunktnih ciklov. Vsak cikel je produkt transpozicij (vendar ne nujno disjunktnih).

Definicija: Permutacija \pi\in S_n je soda, ce jo lahko zapisemo kot produkt sodo mnogo transpozicij. V nasprotnem primeru je liha. Predznak permutacije \pi je stevilo \epsilon(\pi)= \begin{cases} 1 & \pi \text{ je soda} \\ -1 & \pi \text{ je liha}\end{cases}.

Zgled: id je soda permutacija, vsaka transpozicija (i\; j) za i\neq j je liha.

Trditev: \epsilon(\pi^{-1})=\epsilon(\pi) za vse \pi\in S_n. Za vse i\neq j je \epsilon(\pi \cdot (i\; j) ) = - \epsilon(\pi).

IV.2. Determinanta

Naj bo A\in M_n(\mathbb R). Potem je \det(A)=\sum_{\pi\in S_n} \epsilon(\pi) a_{1, \pi(1)} a_{2,\pi(2)} \cdots a_{n,\pi(n)}.

Opomba: Ta definicija se za n=2,3 ujema z definicijo, ki smo jo ze spoznali.

det je torej preslikava M_n(\mathbb R)\to\mathbb R. Ker je |S_n|=n!, ima determinanta n! sumandov.

Zgled: Determinanta zgornje trikotne matrike \begin{bmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ 0 & \ddots&\vdots\\ 0 & 0 & a_{nn}\end{bmatrix} je enaka a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}.

Trditev: \det(A)=\det(A^T).

Lema: Ce ima matrika nicelno vrstico, je njena determinanta enaka 0.

Lema: Naj bo A\in M_n(\mathbb R) in \lambda\in\mathbb R. Potem je \det(\lambda A)=\lambda^n \det(A).

Lema: Ce v matriki med seboj zamenjamo dve vrstici, potem determinanta spremeni predznak.

Posledica: Ce sta v matriki dve vrstici enaki, njena determinanta enaka 0. Ce je v matriki ena vrstica linearna kombinacija ostalih, je njena determinanta enaka 0.

Izrek: Naj bosta A,B\in M_n(\mathbb R). Potem je \det(AB)=\det(A) \det(B).

This entry was posted in Matrični račun (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s