Predavanje MatR10.11: Permutacije

III.6. Inverzne matrike (ponovno)

Izrek: Za matriko A\in M_n(\mathbb R) so naslednje trditve ekvivalentne:

  1. A je obrnljiva;
  2. linearni sistem Ax=b je enolično rešljiv za vsak b\in\mathbb R^n;
  3. rang(A)=n;
  4. VKF matrike A je identična matrika I.

IV. DETERMINANTE

Determinante smo že srečali. Dolžina vektorskega produkta dveh vektorjev v \mathbb R^2 je ravno determinanta 2\times 2 matrike, katere stolpca sta ta vektorja. In le-ta nam določa ploščino paralelograma, ki ga napenjata vektora. Podobno: mešani produkt treh vektorjev v \mathbb R^3 je determinanta 3\times 3 matrike, katere stolpci so ti vektorji. Vrednost je ravno volumen paralelepipeda, ki ga napenjajo ti trije vektorji.

V posebnem vidimo, da za 2\times 2 in 3\times 3 matrike A velja \det(A)=0 natanko tedaj, ko so stolpci matrike A linearno odvisni. Povedano drugače: \det(A)\neq  0 natanko tedaj, ko je A obrnljiva.

Vpeljali bomo determinanto za poljubne kvadratne matrike. Pri tem se bo povezava med determinanto in obrnljivostjo ohranili. Spoznali bomo tudi več primerov uporabe.

IV.1. Permutacije

Oznaka: [n]:=\{1,2,\ldots,n\} je množica vseh naravnih števil od 1 do n.

Definicija: Permutacija množice [n] je bijektivna preslikava \pi:[n]\to [n]. Množico vseh permutacij množice [n] označimo s S_n.

Permutacijo zapišemo kot \pi=\begin{pmatrix} 1 & 2 &  \cdots & n\\ \pi(1)&\pi(2)&\cdots&\pi(n)\end{pmatrix}.

Opomba: Za končno množico A in preslikavo f:A\to A so naslednje trditve ekvivalentne:

  1. f je bijektivna;
  2. f je surjektivna;
  3. f je injektivna.

Opomba: |S_n|=n!.

Kompozitum bijekcij je bijekcija. Torej nam kompozitum porodi operacijo (ki ji rečemo množenje) na permutacijah. Za \pi,\tau\in  S_n: \pi\tau:=\pi\circ\tau\in S_n. Spomnimo se, da je \pi\circ\tau preslikava določena z (\pi\circ\tau)(k)=  \pi(\tau(k)).

Izrek: S_n je z operacijo množenja grupa. To pomeni:

  1. asociativnost množenja: (\pi\tau)\sigma=\pi(\tau\sigma) za vse \pi,\tau,\sigma\in S_n;
  2. obstoj identitete id\in S_n: {\rm id}\, \pi=\pi{\rm id} za vse \pi\in S_n;
  3. obstoj inverzov: za vsak \pi\in S_n obstaja \pi^{-1}\in S_n, da velja \pi\pi^{-1}=\pi^{-1}\pi={\rm id}.

Tukaj je id identična permutacija, \pi^{-1} pa inverzna preslikava bijekcije \pi.

This entry was posted in Matrični račun (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s