RAG10: 4.domača naloga

Simetrična matrika C\in\mathbb R^{n\times n} je kopozitivna, če za vsak nenegativni vektor x\in\mathbb R_{\geq 0}^n velja x^TCx\geq 0. Elementi \mathbb R_{\geq0}^{n\times n} so nenegativne matrike. Vsota nenegativne in pozitivno semidefinitne matrike je kopozitivna.

  1. Kako bi simetrični matriki priredil polinom, katerega nenegativnost je ekvivalentna kopozitivnosti matrike? Ali je matrika H=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1  & -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\ 1  & 1 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 & -1 &  1\end{bmatrix} kopozitivna? Dokaži, da H ni vsota nenegativne in pozitivno semidefinitne matrike.
  2. Če je F urejen obseg, potem je množica vseh intervalov (a,b)\subseteq F baza topologije na F, ki ji bomo rekli urejenostna topologija. Naj bo R realno zaprtje obsega \mathbb Q. Ali je interval [0,1]\subseteq R kompakten?
  3. Fiksirajmo n\in\mathbb N in naj bo \mathbb R[X]_n množica vseh polinomov (ene spremenljivke) stopnje \leq n.  Na kanoničen način vložimo \mathbb  R[X]_n\hookrightarrow \mathbb R^{n+1}.
    • Naj bo W_n:=\{f\in\mathbb R[X]_n \mid f   ima le enkratne ničle\}. Pokaži, da je W_n semialgebraična množica. Ali je odprta v \mathbb R[X]_n? Zaprta?
    • Za d\in\mathbb N_0 definirajmo W_{n,d}:=\{f\in  \mathbb R[X]_n\mid f ima d realnih ničel\}. Dokaži: W_{n,d} je semialgebraična in \cup_{k\geq d} W_{n,k} je odprta v W_n. Ali je W_{n,d} odprta v W_n?
    • Za f\in W_{n,d} označimo z z_1(f)<\ldots<z_d(f) njegove realne ničle. Pokaži, da so preslikave z_i:W_{n,d}\to\mathbb R semialgebraične.
  4. Naj bo K\subseteq \mathbb R^n neomejena zaprta semialgebraična množica. Predpostavimo, da je K zvezdasta glede na nek x_0\in K (tj. za vsak x\in K je daljica [x_0,x] vsebovana v K). Dokaži, da K vsebuje poltrak z izhodiščem v x_0.
  5. Naj bo \varphi:A\to B homomorfizem kolobarjev in \beta_0\leadsto \beta_1 specializacija v {\rm Sper}\; B. Pokaži, da je slika “intervala” \{\beta\in {\rm Sper}\; B\mid \beta_0\leadsto \beta\leadsto \beta_1\} spet “interval” v {\rm Sper}\; A; tj., za vsak \alpha\in {\rm Sper}\; A z \varphi^*(\beta_0)\leadsto \alpha\leadsto \varphi^*(\beta_1) obstaja praslika \beta elementa \alpha z \beta_0\leadsto \beta\leadsto \beta_1.
  6. Ali velja analog naloge 5 za {\rm Spec}?
  7. Dokaži, da je ({\rm Sper}\; A)^{\rm max} kompakten in T_2.
  8. Naj bo \lambda:{\rm Sper}\; A\to ({\rm Sper}\; A)^{\rm max} preslikava, ki vsaki ureditvi P priredi (natanko določeno) maksimalno ureditev, ki vsebuje P. Pokaži, da je \lambda zvezna in zaprta preslikava.

Rok za oddajo je 13.1. ob začetku predavanj.

Osvežitev (13.1.): rok za oddajo je podaljšan do 20.1.

This entry was posted in Pedagoško delo, Realna algebraična geometrija (FMF), Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s