Predavanje MatR10.10: Še o linearnih sistemih

Vsako matriko A lahko s pomočjo elementarnih vrstičnih operacij preoblikujemo v naslednjo obliko, ki ji rečemo vrstična kanonična forma (VKF):

  • v vsaki neničelni vrstici je prvi neničelni element z leve enak 1;
  • če je i-ta vrstica ničelna, potem so vse naslednje vrstice ničelne;
  • prvi neničelni element z leve v (i+1)-ti vrstici je bolj desno kot prvi neničelni element v i-ti vrstici;
  • če je v j-tem stolpcu kak prvi neničelni element neke vrstice, potem je to v j-tem stolpcu edini neničelni element.

Vsak prvi neničelni element vrstice v VKF imenujemo pivot.

Algoritem za iskanje VKF (Gauß-Jordanova eliminacija): postavi i=1, j=1.

Korak 1:

  • če je v j-tem stolpcu kak element v vrsticah i+1,i+2,\ldots,m neničeln in je a_{ij}=0, zamenjaj i-to vrstico s k-to vrstico, da bo novi a_{ij}\neq 0;
  • pomnoži i-to vrstico z \frac 1{a_{ij}}, da bo novi element (pivot) enak a_{ij}=1;
  • prištej i-to vrstico pomnoženo z -a_{kj} h k-ti vrstici, da bo a_{kj}=0 za vsak k=i+1,i+2,\ldots, m.

Postavi i\to i+1 (premakni se v novo vrstico in določi nov j) ter ponovi korak 1.

Korak 2:

  • vrstice s pivotom prištej k predhodnim vrsticam, da bo pivot edini neničelni element v svojem stolpcu.

Spomnimo se: rang matrike A je enak stevilu nenicelnih vrstic VKF matrike A.

Izrek: Naj bo A\in M_{m\times n}(\mathbb R) in b\in\mathbb R^m. Linearni sistem Ax=b je rešljiv natanko tedaj, ko je rang(A)= rang\begin{bmatrix} A & | & b\end{bmatrix}. če je ta rang enak n, je sistem enolično resljiv. Če je rank enak k, ima sistem (n-k)-parametrično družino rešitev.

This entry was posted in Matrični račun (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s