Predavanje MatR10.9: Sistemi linearnih enačb

IV. SISTEMI LINEARNIH ENAČB

IV.1. Definicija in uvodni primeri

Linearna enačba z n neznankami x_1,\ldots,x_n je enačba oblike a_1 x_1+\cdots+a_n x_n=b, kjer so a_1,\ldots,a_n,b\in\mathbb R dana realna števila. Rešitev takšne enačbe je vsak vektor (točka) s\in \mathbb R^n, ki zadošča a_1s_1+\cdots+a_ns_n=b. Množica vseh rešitev je \mathcal R=\{  s=(s_1,\ldots,s_n)\in\mathbb R^n \mid a_1s_1+\cdots+a_ns_n=b\}.

Zgled: Rešitev enačbe 6x_1+3x_2-x_3=4 je \Sigma=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid 6x+3y-z=4\} in geometrijsko predstavlja ravnino v \mathbb R^3.

Sistem m linearnih enačb z n neznankami x_1,\ldots,x_n je družina linearnih enačb

\begin{array}{rcl} a_{11} x_1+\cdots+a_{1n} x_n&=&b_1  \\ a_{21} x_1+\cdots+a_{2n} x_n&=&b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}  x_1+\cdots+a_{mn} x_n&=&b_m\end{array}.

Rešitev linearnega sistema je vsak vektor s\in\mathbb R^n, ki reši vsako izmed teh linearnih enačb. Če je \mathcal R_i rešitev i-te enačbe sistema, potem je množica rešitev sistema enaka \mathcal R=\mathcal R_1\bigcap \cdots \bigcap \mathcal  R_m\subseteq\mathbb R^n. Če je \mathcal R\neq\varnothing, rečemo, da je sistem konsistenten (rešljiv). Sicer je sistem nerešljiv (nekonsistenten; protisloven).

Vedno nastopi natanko ena od naslednjih treh možnosti:

  1. sistem je enolično rešljiv;
  2. sistem je rešljiv in ima neskončno mnogo rešitev;
  3. sistem je protisloven.

Kako rešujemo linearne sisteme? Kakšna je struktura rešitev? Kje se vse to uporablja?

Zgled: Kaj je presek treh ravnin \begin{array}{rcl}  3x_1+x_2-x_3&=&8 \\ x_1-x_2+x_3&=&4 \\  x_1+x_2-x_3&=&2\end{array}?

Linearni sistem lahko krajše zapišemo kot Ax=b, kjer je A\in M_{m\times n}(\mathbb R), x\in\mathbb R^n in b\in\mathbb R^m. Razširjena (pridružena) matrika linearnega sistema je [A \mid b]= [A^{(1)}\; A^{(2)} \; \cdots A^{(n)} \; b].

Zgled: Vrnimo se k prejšnjemu zgledu. \begin{bmatrix} 3  & 1 & -1 & | & 8 \\ 1 & -1 & 1 & | & 4  \\ 1 & 1 & -1 & | & 2\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1  & -1 & 1 & | & 4 \\ 1 & 1 & -1 & | & 2\\  3 & 1 & -1 & | & 8\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix}1 & -1 & 1 & | & 4 \\ 0 & 2 & -2  &|& -2 \\ 0 & 4 & -4 & | &  -4\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1 & -1 & 1 & | & 4 \\ 0  & 1 & -1 &|& -1\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1 & 0  & 0 & | & 3 \\ 0 & 1 & -1 &|&  -1\end{bmatrix}. To je linearni sistem \begin{bmatrix} 1 & 0  & 0 & | & 3 \\ 0 & 1 & -1 &|&  -1\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{bmatrix} =  \begin{bmatrix} 3 \\ -1\end{bmatrix}. Njegova resitev je torej x_1=3, x_2-x_3=-1.

Posluževali smo se 3 t.i. elementarnih vrstičnih operacij:

  1. i-to vrstico matrike pomnožimo z neničelnim skalarjem;
  2. i-to vrstico matrike pomnoženo z neničelnim skalarjem prištejemo j-ti vrstici;
  3. zamenjamo i-ti in j-to vrstico.

Pri reševanu linearnih sistemov študiramo matrike. Prikazanemu postopku pravimo Gauß-Jordanova eliminacija. Matrika, ki jo dobimo na koncu, pa je vrstično kanonična forma (VKF).

Vsako matriko A lahko s pomočjo elementarnih vrstičnih operacij preoblikujemo v naslednjo obliko, ki ji rečemo vrstična kanonična forma:

  • v vsaki neničelni vrstici je prvi neničelni element z leve enak 1;
  • ce je i-ta vrstica ničelna, potem so vse naslednje vrstice ničelne;
  • prvi nenicelni element z leve v (i+1)-ti vrstici je bolj desno kot prvi nenicčlni element v i-ti vrstici;
  • ce je v j-tem stolpcu kak prvi neničelni element neke vrstice, potem je to v j-tem stolpcu edini neničelni element.

Vsak prvi neničelni element vrstice v VKF imenujemo pivot.

Algoritem za iskanje VKF (Gauß-Jordanova eliminacija): postavi i=1, j=1.

Korak 1:

  • če je v j-tem stolpcu kak element v vrsticah i+1,i+2,\ldots,m neničeln in je a_{ij}=0, zamenjaj i-to vrstico s k-to vrstico, da bo novi a_{ij}\neq 0;
  • pomnoži i-to vrstico z \frac 1{a_{ij}}, da bo novi element (pivot) enak a_{ij}=1;
  • pristej i-to vrstico pomnoženo z -a_{kj} h k-ti vrstici, da bo a_{kj}=0 za vsak k=i+1,i+2,\ldots,  m.

Postavi i\to i+1 (premakni se v novo vrstico in določi nov j) ter ponovi korak 1.

Korak 2:

  • vrstice s pivotom prištej k predhodnim vrsticam, da bo pivot edini neničelni element v svojem stolpcu.

IV.2. Rang matrike

Definicija: Rang matrike A\in  M_{m\times n}(\mathbb R) je dimenzija prostora Lin(A_{(1)},\ldots,A_{(m)}). Oznaka: rang(A).

Rang matrike je torej število linearno neodvisnih vrstic matrike A.

Vpeljimo elementarne stolpčne operacije:

  1. i-ti stolpec matrike pomnožimo z neničelnim skalarjem;
  2. i-ti stolpec matrike pomnoženega z neničelnim skalarjem prištejemo j-temu stolpcu;
  3. zamenjamo i-ti in j-ti stolpec.

Izrek: Elementarne vrstične in stolpčne operacije ne spremenijo ranga.

Izrek: Naj bo A\in M_{m\times n}(\mathbb R) matrika z rangom r. Potem lahko A z zaporedjem elementarnih vrstičnih in stolpčnih operacij preoblikujemo v obliko \begin{bmatrix} I_k & 0_{k\times(n-k)} \\ 0_{(m-k)\times k}  & 0_{(m-k)\times (n-k)}\end{bmatrix}.

Posledica: Rang matrike A je enak številu neničelnih vrstic VKF matrike A.

Opomba: rang(A)= rang(A^T). rang(I_n)=n.

This entry was posted in Matrični račun (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s