RAG10: 3.domača naloga

Popravek (16.12.): pri drugi nalogi so mišljene bazno odprte (in ne zaprte) množice.

Vseskozi R označuje realno zaprt obseg.

  1. Ali je neskončna žaga (=graf funkcije f(x)=| x- \lfloor x\rfloor - \frac 12 | v \mathbb R^2) semialgebraična množica? Tukaj z \lfloor x\rfloor označujemo največje celo število, ki ne presega x.
  2. Dokaži, da je \{ r e^{i \varphi} \mid 0<r<1,\, 0<\varphi<2 \pi\}\subseteq \mathbb C=\mathbb R^2 unija dveh bazno odprtih semialgebraičnih množic, ni pa sama bazno odprta.
  3. Pokaži, da ne obstaja polinom f\in R[X,Y] z \{(x,y)\in R^2 \mid f(x,y)>0\} = R_{>0}\times R_{>0}.
  4. Naj bo S\subseteq R^n semialgebraična množica. Dokaži, da je njena notranjost tudi semialgebraična. Kaj pa rob \partial S?
  5. Ali je množica \{(x,y)\in R^2 \mid \exists n\in\mathbb N:\, y=nx\} semialgebraična?
  6. Naj bo F urejen obseg in R njegovo realno zaprtje. Pokaži: vsako semialgebraično množico v R^n lahko opišemo s polinomskimi enačbami in neenačbami s koeficienti v obsegu F.
  7. Dokaži ali ovrži: Zariskijeva topologija na ({\rm Spec} \;\mathbb C[X])^{\rm max} je topologija končnih komplementov.
  8. Naj bo f:A\to B homomorfizem kolobarjev. Pokaži, da so naslednje trditve ekvivalentne:
  • f je epimorfizem;
  • v B \otimes_A B velja x\otimes 1=1\otimes x za vse x\in B;
  • kanonična preslikava B\otimes_A B\to B, x \otimes y\mapsto xy je izomorfizem.

Topološki prostor X imenujemo noetherski, če zadošđa pogoju naraščajočih odprtih množic: če je U_1\subseteq U_2\subseteq \cdots veriga odprtih podmnožic X, potem obstaja m\in\mathbb N, da je U_m=U_{m+1}=\cdots.

  1. Pokaži:
  • topološki prostor X je noetherski natanko tedaj, ko je vsak podprostor kompakten;
  • {\rm Spec}\; k[\bar X] je noetherski, kjer je \bar X=(X_1,\ldots, X_n) in je k obseg.

Urejen obseg F imenujemo \aleph_1-nasičen, če za poljubni števni množici A,B\subseteq F z A<B obstaja c\in F z A<c<B.

  1. Naj bo R \aleph_1-nasičen realno zaprt obseg. Pokaži, da R ni števen, ni arhimedsko urejen, vsebuje pa (urejenostno) kopijo vsakega števnega urejenega obsega.

Rok za oddajo je 23.12. ob začetku predavanj.

This entry was posted in Pedagoško delo, Realna algebraična geometrija (FMF), Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s