Predavanje MatR10.8: Posebni tipi kvadratnih matrik

II.2. Kvadratne matrik

M_n(\mathbb R) je primer realne algebre. To pomeni, da sta na tej množici definirani dve notranji operaciji (seštevanje in množenje) ter zunanja operacija (množenje z realnimi skalarji). Vse te operacije so povezane z lastnostmi, ki smo si jih ogledali v prejšnjem razdelku.

Velja celo več: M_n(\mathbb R) je algebra z enoto. To pomeni, da obstaja I\in M_n(\mathbb R), da velja IA=AI=A za vse A\in M_n(\mathbb R). Namreč I=\begin{bmatrix} 1 \\ & 1 \\ & & \ddots \\ & &  & 1\end{bmatrix} je n\times n matrika z 1 na diagonali in 0 povsod drugod.

Ta algebra pa ni komutativna, saj obstajajo matrike, ki med seboj ne komutirajo.

Nekaj posebnih tipov matrik:

  • matrične enote so E_{ij}, ki imajo na (i,j)-tem mestu 1, drugod pa 0;
  • diagonalna matrika D je takšna matrika, za katero je d_{ij}=0 za i\neq j;
  • zgornjetrikotne matrike so takšne matrike A, da velja a_{ij}=0 za i>j;
  • strogo zgornjetrikotne matrike so matrike A, za katere velja a_{ij}=0 za i\geq j;
  • skalarna matrika je matrika oblike \lambda I za nek \lambda\in\mathbb R;
  • idempotentna matrika je A, če zadošča A^2:=AA=A;
  • nilpotentna matrika je A, če za nek n\in\mathbb N velja A^n=0.
  • simetrična matrika je takšna matrika A, da je A^T=A;
  • poševno-simetrična matrika je takšna matrika A, da je A^T=-A.

Izrek: Vsaka kvadratna matrika se da zapisati kot vsota simetrične in poševno-simetrične matrike.

II.3. Obrnljive matrike

Za vsako neničelno realno stevilo a obstaja b, da je ab=1. Pri matrikah kaj podobnega ne velja.

Definicija: Naj bo A\in M_n(\mathbb R). Tedaj matriko B\in M_n(\mathbb R), za katero velja AB=BA=I imenujemo inverz matrike A. Rečemo tudi, da je A obrnljiva ali nesingularna.

Trditev: Če inverz matrike A obstaja, je le-ta enoličen. Označimo ga z A^{-1}.

Izrek: Ce za A,B\in M_n(\mathbb R) velja AB=I, potem je tudi BA=I.

Trditev: Matriki A,B sta obrnljivi natanko tedaj, ko je AB obrnljiva. Velja (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.

Kdaj je matrika obrnljiva? Kako izračunamo njen inverz?

Trditev: Matrika A=\begin{bmatrix} a &  b\\ c& d\end{bmatrix} je obrnljiva natanko tedaj, ko je \det(A)=ad-bc\neq 0 in potem velja A^{-1}=\frac 1{ad-bc}  \begin{bmatrix} d & -b\\ -c & a\end{bmatrix}.

Zgled:

  1. A=\begin{bmatrix} 3 & -7 \\ -2 & 5\end{bmatrix} je obrnljiva in njen inverz je A^{-1}=\begin{bmatrix} 5 & 7 \\ 2  & 3\end{bmatrix}.
  2. A=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1\end{bmatrix} ni obrnljiva.
This entry was posted in Matrični račun (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s