Predavanje MatR10.7: Matrike

II.2. Računske operacije na matrikah

Seštevanje matrik

Naj bosta A,B\in M_{m\times n}(\mathbb R). Tedaj je njuna vsota A+B definirana kot m\times n matrika z elementi a_{ij}+b_{ij}: A+B=\begin{bmatrix} a_{11} +b_{11}&  a_{12} +b_{12}& \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} &  a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \\ \vdots & \vdots  & \ddots & \vdots \\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} &  \cdots & a_{mn}+b_{mn}\end{bmatrix}.

Lastnosti seštevanja matrik:

  1. komutativnost: za vse A,B\in M_{m\times n}(\mathbb R) velja A+B=B+A;
  2. asociativnost: za vse A,B,C\in M_{m\times n}(\mathbb R) velja A+(B+C)=(A+B)+C;
  3. obstoj nevtralnega elementa: obstaja O\in M_{m\times n}(\mathbb R), da za vsak A\in M_{m\times n}(\mathbb R) velja A+O=A;
  4. obstoj nasprotnega elementa: za vsak A\in M_{m\times n}(\mathbb R) obstaja -A\in M_{m\times n}(\mathbb R) z A+B=O.

Pri tem nevtralni element imenujemo ničelna matrika 0=\begin{bmatrix} 0& \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots &  \vdots \\ 0 & \cdots & 0\end{bmatrix}\in M_{m\times n}(\mathbb  R), nasprotna matrika k A pa je -A=\begin{bmatrix}  -a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1n} \\ -a_{21} &  -a_{22} & \cdots & -a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots  & \vdots \\ -a_{m1} & -a_{m2} & \cdots &  -a_{mn}\end{bmatrix}\in M_{m\times n}(\mathbb R).

Množenje matrik s skalarjem

Naj bo A\in M_{m\times n}(\mathbb R) in \lambda\in\mathbb R. Potem je \lambda A matrika velikosti m\times n z elementi \lambda a_{ij}: \lambda  A=\begin{bmatrix} \lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots &  \lambda a_{1n} \\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \cdots  & \lambda a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\  \lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & \cdots & \lambda  a_{mn}\end{bmatrix}.

Lastnosti množenja matrike s skalarjem:

  1. \forall \lambda\in\mathbb R, \; \forall A,B\in M_{m\times n}(\mathbb R): \lambda (A+B)=\lambda A + \lambda B;
  2. \forall \lambda, \mu \in\mathbb R, \; \forall A\in M_{m\times n}(\mathbb R): (\lambda+\mu) A=\lambda A + \mu B;
  3. \forall \lambda, \mu \in\mathbb R, \; \forall A\in M_{m\times n}(\mathbb R): (\lambda\mu) A=\lambda (\mu A);
  4. \forall A\in M_{m\times n}(\mathbb R): 1 A=A.

Množenje matrik

Naj bo A\in M_{m\times n}(\mathbb R) in B\in  M_{n\times r}(\mathbb R). Potem je AB matrika velikosti m\times r, katere (i,j)-ti element je enak c_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}= a_{i1}b_{1j}+  a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{in}b_{nj}.

Zgled: Naj bo A=\begin{bmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 0 & 1  & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} in B=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \\ 2 & 0\end{bmatrix}. Potem je AB=\begin{bmatrix} 5 & 8 \\ -2 & -1 \\ -1 &  2\end{bmatrix}, BA pa ne obstaja.

Opomba: Naj bo A\in M_{1\times n}(\mathbb R) vrstica in B\in M_{n\times 1}(\mathbb R) stolpec. Potem je AB\in  M_1(\mathbb R). Ker lahko tak A in B identificiramo z vektorji, je produkt AB matrik kar skalarni produkt vektorjev A,B. V splošnem pa je (i,j)-ti element AB skalarni produkt A_{(i)} in B^{(j)}.

Lastnosti množenja matrik: naj bodo A,B,C matrike, za katere obstajajo produkti navedeni spodaj. Potem velja:

  1. (AB)C=A(BC);
  2. (A+B)C =AC+BC;
  3. A(B+C) =AB+AC;
  4. \forall \lambda\in\mathbb R:\; \lambda(AB)=A(\lambda B)=(\lambda A)B.

Transponiranje matrik

Naj bo A=[a_{ij}]\in M_{m\times n}(\mathbb R) poljubna matrika. Matrika B=[b_{ij}]\in M_{n\times m}(\mathbb R), katere elementi so b_{ij}=a_{ji}, se imenuje transponiranka od A in pišemo B=A^T.

Lastnosti transponiranja matrik: za vse matrike A,B ustreznih velikosti in vse skalarje \lambda velja

  1. (A^T)^T=A;
  2. (\lambda A)^T= \lambda A^T;
  3. (A+B)^T=A^T+B^T;
  4. (AB)^T=B^TA^T.
This entry was posted in Matrični račun (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s