Predavanje MatR10.6: Linearne kombinacije. Baza

Enako kot prej imamo pojma linearne odvisnosti in linearne neodvisnosti.

Definicija: \{v_1,\ldots,v_m\} je baza V\leq\mathbb R^n, če velja:

  1. v_1,\ldots, v_m so linearno neodvisni;
  2. Lin(v_1,\ldots,v_m)=V.

Moč (najmanjše) baze za V imenujemo dimenzija prostora V in označimo z \dim(V).

Izrek: \{v_1,\ldots,v_m\} je baza V\leq\mathbb R^n, če se vsak v\in V zapiše enolično kot linearna kombinacija v_1,\ldots,v_m.

Zgled: Standardna baza \mathbb R^n je e_1=(1,0,\ldots,0), e_2=(0,1,0,\ldots, 0), \ldots,e_n=(0,\ldots,0,1). Torej je \dim(\mathbb R^n)=n.

Zgled: Oglejmo si U=\{x\in\mathbb R^5 \mid x_1+x_5=0,x_3-x_4=0\}. Poljuben x\in U lahko zapišemo kot x=(x_1,x_2,x_3,x_3,-x_5)= x_1 (1,0,0,0,-1) + x_2(0,1,0,0,0)+x_3(0,0,1,-1,0). Iz enoličnosti tega zapisa sledi, da je \{(1,0,0,0,-1), (0,1,0,0,0),(0,0,1,-1,0)\} baza za U.

Problem: Kako preverimo, ali so neki vektorji v_1,\ldots,v_m linearno neodvisni? Poiščemo linearno kombinacijo?

Odgovor: Rešimo linearni sistem enačb. Več na vajah in v nadaljevanju. Zato bomo sedaj vpeljali matrike.

II. MATRIKE

II.1. Kdo ali kaj so matrike

Naj bosta m,n\in\mathbb N. Matrika je pravokotna tabela števil A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}, kjer a_{ij}\in\mathbb R za vse i,j. Matrika A ima m vrstic in n stolpcev. Pravimo, da gre za m\times n matriko. Množico vseh le-teh označimo z M_{m\times n}(\mathbb R) ali včasih \mathbb R^{m\times n}. Matrike iz M_{1\times n}(\mathbb R) in M_{n\times 1}(\mathbb R) identificiramo z vektorji \mathbb R^n.

Stolpci matrike A so vektorji, npr. A^{(k)}=\begin{bmatrix} a_{1k}\\ a_{2k} \\ \vdots \\ a_{mk}\end{bmatrix}\in\mathbb R^m. Podobno za vrstice A_{(k)}=\begin{bmatrix} a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kn}\end{bmatrix}\in\mathbb R^n.

Če je m=n, pravimo matriki kvadratna. V tem primeru pišemo M_n(\mathbb R)=M_{m\times n}(\mathbb R).

This entry was posted in Matrični račun (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s