RAG10: 2.domača naloga

Osvežitev (22.11.): rok za oddajo je prestavljen za en teden na 2.12.

Osvežitev (30.11.): rok za oddajo je prestavljen za še en teden na 9.12.

Vseskozi R označuje realno zaprt obseg.

  1. Naj bosta A,B pozitivno semidefinitni matriki enake velikosti in w poljuben produkt A -jev in B -jev dolžine \leq 5 . Dokaži, da je {\rm sled}(w)\geq 0 . Ali velja isto tudi za vse besede dolžine 6?
  2. Identiteta f= (\frac {f+1}2)^2-(\frac{f-1}2)^2 pokaže, da je vsak polinom f\in R[X] razlika (vsot) kvadratov polinomov. Dokaži, da je vsak polinom razlika vsot m -tih potenc za vsak m\in\mathbb N .
  3. Naj bo C algebraično zaprt obseg karakteristike 0. Pokaži, da C vsebuje realno zaprt podobseg R, za katerega je C=R[i].
  4. Dokaži Reznickov izrek 1.16.
  5. Dokaži trditvi 1.19 in 1.20 ter posledico 1.21.
  6. Naj bo K obseg, za katerega je 1<[\bar K:K]<\infty, kjer smo z \bar K označili algebraično zaprtje obsega K. Pokaži, da je K realno zaprt.
  7. Z \mathcal O\subsetneq R označimo poljuben valuacijski kolobar, ki je konveksen glede na (edino) ureditev obsega R.
    • Dokaži, da je obseg ostankov realno zaprt.
    • Dokaži, da je abelova grupa R^{-1}/O^{-1} deljiva. Tukaj smo z S^{-1} označili množico vseh (v S!) obrnljivih elementov. Abelova grupa \Gamma je deljiva, če za vsak \gamma\in\Gamma in vsak n\in\mathbb N obstaja \gamma'\in\Gamma z \gamma=n\gamma'.
  8. Dokaži Sylvestrov izrek 1.27.
  9. Podan je polinom p=X^4+aX^3+bX^2+cX+d\in R[X]. Pregledno opiši (v odvisnosti od koeficientov a,b,c,d\in R) število različnih ničel polinoma p v R.

Naj bo R[X]^{s\times s} množica vseh matričnih polinomov. To so matrike velikosti s\times s, katerih elementi so polinomi (ene) spremenljivke. Na tej množici na naraven način vpeljemo transponiranje f\mapsto f^T.

  1. Naj za f\in R[X]^{s\times s} za vsak x\in R velja f(x)\succeq0. Pokaži, da obstajata g,h\in R[X]^{s\times s} z f=g^Tg+h^Th.

Rok za oddajo je 25.11. 2.12. 9.12. ob začetku predavanj.

This entry was posted in Pedagoško delo, Realna algebraična geometrija (FMF), Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s