Predavanje MatR10.5: Vektorji v R^n

I.6. (Posplošeni) vektorji v \mathbb R^n

Z \mathbb R^n označimo množico vseh n-teric realnih števil: \mathbb R^n=\{ x=(x_1,\ldots,x_n)\mid x_i\in\mathbb R\}. Kot v \mathbb R^3 vpeljemo seštevanje (po komponentah) in množenje s skalarjem (tudi po komponentah). Ti operaciji imata enake lastnosti kot geometrijski vektorji, ki smo si jih ogledali na prvem predavanju.

Definicija: V\subseteq\mathbb R^n je vektorski podprostor (oznaka: V\leq \mathbb R^n), če je zaprta za seštevanje in množenje s skalarji. Ekvivalentno:

  1. x+y\in V za vsaka x,y\in V;
  2. \lambda x\in V za vse x\in V in \lambda\in\mathbb R.

Zgled: Naj bo \vec 0\neq\vec a\in\mathbb R^3 in U=\{\vec x\in\mathbb R^3\mid \vec a\cdot \vec x=0\} in V=\{\vec x\in\mathbb R^3\mid \vec a\times \vec x=\vec 0\}. Tedaj sta U,V vektorska podprostora \mathbb R^3. Pri tem U predstavlja ravnino, ki gre skozi izhodišče in ima normalo \vec a. V pa je premica skozi izhodišče, ki ima smerni vektor \vec a.

Zgled: Naj bo U=\{x\in\mathbb R^5 \mid x_1+x_5=0\} in V=\{x\in\mathbb R^5\mid x_2-x_3=1\}. Potem U je vektorski podprostor \mathbb R^5, V pa ne.

Trditev: Naj bosta U,V\leq\mathbb R^n. Potem je

  1. U\cap V\leq \mathbb R^n;
  2. U+V=\{u+v\mid u\in U,\, v\in V\}\leq\mathbb R^n.

Linearna kombinacija je definirana kot za geometrijske vektorje. Množica vseh linearnih kombinacij danih vektorjev je njihova linearna ogrinjača (lupina) Lin. Velja:

Trditev: Za poljubne v_1,\ldots,v_m\in\mathbb R^n je Lin(v_1,\ldots,v_m)\leq\mathbb R^n.

This entry was posted in Matrični račun (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s