Predavanje MatR10.4: Vektorski in mešani produkt

Zgled: Za standardno bazo \vec i,\vec j,\vec k velja: \vec i \times \vec j= \vec k = - \vec j\times \vec i\vec j  \times \vec k= \vec i= - \vec k\times \vec j, \vec k \times \vec  i= \vec j= - \vec i\times \vec k, \vec i \times \vec i= \vec  j\times\vec j = \vec k\times \vec k=0.

Trditev: Vektorski produkt dveh vektorjev \vec a=\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}, \vec  b=\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}\in\mathbb R^3 je \begin{bmatrix} a_2 b_3-a_3 b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\  a_1b_2-a_2b_1\end{bmatrix}.

Formulo si je lažje zapomniti s pomocjo determinant. Determinanta velikosti 2\times 2 je \begin{vmatrix} a  & b \\ c & d\end{vmatrix}=ad-bc, determinanta velikosti 3\times 3 pa izracunamo takole: \begin{vmatrix} x_1 & x_2  & x_3\\ y_1 & y_2 & y_3 \\ z_1 & z_2 & z_3  \end{vmatrix} = x_1 \begin{vmatrix} y_2 & y_3 \\ z_2 & z_3  \end{vmatrix} - x_2 \begin{vmatrix} y_1 & y_3 \\ z_1 & z_3  \end{vmatrix} - x_3 \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ z_1 & z_2  \end{vmatrix}.

Tedaj je vektorski produkt \vec a, \vec b enak \vec a  \times \vec b= \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ a_1  & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}.

Opomba: Če sta vektorja \vec a,\vec b linearno neodvisna, potem je \{\vec a,\vec b,\vec a\times\vec  b\} baza za \mathbb R^3.

Zgled: V prostoru so podane točke A(1,1,0),\, B(0,1,1),\,  C(1,0,1). Kako določiti ploščino S trikotnika ABC? Velja S=\frac 12 |\vec {AB}\times \vec {AC}|. Ker je \vec  {AB}=\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix} in \vec  {AC}=\begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}, je \vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1\end{bmatrix}. Sledi S=\frac{\sqrt 3}2.

Trditev: Naj bodo \vec a,\vec b,\vec c poljubni vektorji. Potem je:

  1. (\vec a\times\vec b)\times\vec c=(\vec a\cdot \vec c)\vec b-(\vec b\cdot\vec c)\vec a;
  2. |\vec a\times \vec b|^2+ |\vec a\cdot\vec b|^2 = |\vec a|^2\, |\vec b|^2.

I.5. Mešani produkt

Mešani produkt vektorjev \vec a,\vec b,\vec c je definiran kot (\vec a,\vec b,\vec c)=(\vec a\times \vec b)\cdot  \vec c in je preslikava ({\textvisiblespace},{\textvisiblespace},{\textvisiblespace}) : \mathbb  R^3\times\mathbb R^3\times\mathbb R^3\to\mathbb R.

Trditev: (\vec a,\vec b,\vec c)=  \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\  c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}.

Trditev: Absolutna vrednost mešanega produkta (\vec a,\vec b,\vec c) je enaka prostornini paralelepipeda, ki ga napenjajo \vec a,\vec b,\vec c.

Lastnosti mešanega produkta:

  1. (\vec a,\vec b,\vec c)=0 natanko tedaj, ko se vektorji \vec a,\vec b,\vec c linearno odvisni (tj. koplanarni);
  2. linearnost v vsaki komponenti: (\lambda_1 \vec a_1+ \lambda_2  \vec a_2 ,\vec b,\vec c)= \lambda_1 (\vec a_1,\vec b,\vec c)+\lambda_2  (\vec a_2,\vec b,\vec c);
  3. cikličnost: (\vec a,\vec b,\vec c)=(\vec b,\vec c,\vec  a)=(\vec c,\vec a,\vec b)=-(\vec b,\vec a,\vec c)=-(\vec c,\vec b,\vec  a)=-(\vec a,\vec c,\vec b).

Izrek (Lagrangeova identiteta): (\vec  a\times\vec b)\cdot(\vec c\times \vec d)=(\vec a\cdot\vec c)(\vec b\cdot  \vec d)- (\vec a\cdot\vec d)(\vec b\cdot \vec c).

This entry was posted in Matrični račun (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

2 Responses to Predavanje MatR10.4: Vektorski in mešani produkt

  1. Pingback: Predavanje MatR10.11: Permutacije « igor's math Blog

  2. Pingback: Predavanje MatR10.12: Determinanta « igor's math Blog

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s