RAG10: 1.domača naloga

Osvežitev (4.11.): Popravek 10.naloge!

Osvežitev (5.11.): V vseh nalogah so kolobarji enični – vsebujejo enico. Če je K podkolobar kolobarja K', potem imata isto enoto.

Osvežitev (5.11.): Zaradi velikega povpraševanja se je rok za oddajo domače naloge podaljšal ze en teden.

Osvežitev (14.11.): Popravek v (ii) naloge 3.

Definicija: Podkolobar \mathcal O obsega K imenujemo valuacijski kolobar, če za vsak x\in K velja x\in\mathcal O ali x^{-1}\in\mathcal O.

  1. Dokaži: Vsak valuacijski kolobar \mathcal O ima natanko en maksimalni ideal \mathfrak m. (Faktorski kolobar \mathcal O/\mathfrak m=:\bar K imenujemo obseg ostankov.)
  2. Naj bo \mathcal O podkolobar urejenega obsega (K,\leq), ki je konveksen: za vse 0\leq y\leq x\in\mathcal O velja y\in\mathcal O. Pokaži, da je \mathcal O valuacijski kolobar.
  3. Naj bo \mathcal O valuacijski kolobar urejenega obsega (K,\leq) z maksimalnim idealom \mathfrak m. Dokaži, da so naslednje trditve ekvivalentne:
    (i) \mathcal O je konveksen;
    (ii) na \bar K je \{x+\mathfrak m\mid x\in \mathcal O_{\geq0}\} pozitivnostni stožec ureditve;
    (iii) 1+\mathfrak m\subseteq K_{\geq0}.
  4. Naj bo K obseg z valuacijskim kolobarjem \mathcal O. Pokaži: če je obseg \bar K realen, potem obstaja takšna ureditev obsega K, da je \mathcal O konveksen.
  5. Za poljuben obseg K s K((X)) označimo obseg potenčnih vrst: K((X))=\{ \sum_{i=m}^\infty a_i X^i \mid m\in\mathbb Z, a_i\in K\}. Pokaži, da je K((X)) obseg. Dokaži, da \mathbb R((X)) premore le dve ureditvi.
  6. Oglejmo si polinom \displaystyle h:=X_1^{2n}+\cdots+X_n^{2n}-n X_1^2\cdots X_n^2\in \mathbb R[\bar X]. Pokaži, da h\in\Sigma\mathbb R[\bar X]^2. Poskusi poiskati zapis s čim manjšim številom kvadratov.
  7. Vzemimo A\in S\mathbb R^{n\times n}, B\in\mathbb R^{n\times m} in D\in S\mathbb R^{m\times m}. Hkrati predpostavimo, da je matrika A obrnljiva. Dokaži: \begin{bmatrix} A& B \\ B^t & D \end{bmatrix} \succeq 0 tedaj in le tedaj, ko je A\succeq 0 in D-B^t A^{-1} B \succeq 0.
  8. Poišči vsa realna števila x, za katera je matrika \left[\begin{smallmatrix} 2 & x & 0 & 0 & 0 \\ x & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & x & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & x \end{smallmatrix}\right] pozitivno semidefinitna.
  9. Naj bo \mathcal B=\{x\in\mathbb R^n \mid x^t x-1\leq 0\} enotska krogla v \mathbb R^n in \mathcal E=\{x\in\mathbb R^n \mid x^t A x+ 2 b^t x+ c\leq 0\} elipsoid. Pri tem je A\in S\mathbb R^{n\times n} pozitivno definitna, b,c\in\mathbb R^n. Pokaži: \mathcal B\supseteq\mathcal E tedaj in natanko tedaj, ko obstaja \tau\in\mathbb R_{>0} z lastnostjo \begin{bmatrix} I_n & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix} \preceq \tau \begin{bmatrix} A & b \\ b^t & c\end{bmatrix}.
  10. Za vsak n\in\mathbb N je podan polinom \ell_n=\sum_{i=1}^n\prod_{j\neq i} (X_i-X_j). Za katere n je \ell_n|_{\mathbb R^n}\geq 0? Kdaj je \ell_n\in\Sigma\mathbb R[\bar X]^2?

Rok za oddajo je 11.11. ob 11:11 18.11. ob začetku predavanj.

This entry was posted in Pedagoško delo, Realna algebraična geometrija (FMF), Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s