Predavanje RAG10.2: Pozitivni polinomi

Zgled: Obseg \mathbb Q(\sqrt 2) premore natanko dve ureditvi. V eni je \sqrt2>0, v drugi pa \sqrt2<0.

Zgled: Obseg \mathbb Q(X) premore dva tipa ureditev. En razred je porojen iz vložitev \mathbb Q(X)\to\mathbb R, drugi pa iz vložitve \mathbb Q(X)\to\mathbb R(X). (Spomnimo se, da smo prejšnjič uredili obseg realnih racionalnih funkcij.)

Definicija: Ureditev \leq obsega K imenujemo arhimedska, če za vsak x\in K obstaja n\in\mathbb N z x<n.

Izrek 1.4 (Hölder): Vsak arhimedsko urejen obseg (K,\leq) premore urejenostno vložitev K\to\mathbb R.

Za dokaz izreka potreujemo dve lemi, ki jih navajamo spodaj.

Lema 1.5: V vsakem arhimedsko urejenem obsegu so racionalna števila gosta.

Definicija: Par podmnožic (U,V) urejenega obsega K imenujemo rez, če velja U\leq V, \varnothing\neq U,V. Če velja še U\cup V=K, potem govorimo o Dedekindovem rezu. Če za vsak rez (U,V) obstaja \alpha\in K z U\leq\alpha\leq V, potem je obseg K Dedekindovo poln.

Lema 1.6: Vsak Dedekindovo poln obseg je arhimedski.

Posledica 1.7: \mathbb R je edini Dedekindovo poln obseg.

I. 1. Pozitivni polinomi

Oznaka: \mathbb R[X] je kolobar realnih polinomov ene spremenljivke, \mathbb R[\bar X] pa kolobar realnih polinomov n spremenljivk \bar X=(X_1,\ldots,X_n).

V tem razdelku se bomo ukvarjali z elementi {\mathbb R} [X] .

Trditev 1.8 (Gauß) Polinom f\in{\mathbb R} [X] je nenegativen natanko tedaj, ko je vsota kvadratov polinomov.

Z \sum{\mathbb R}[X]^2 bomo označili množico vseh vsot kvadratov polinomov.

Posledica 1.9. f\in\sum{\mathbb R}[X]^2 \quad \iff \quad \exists g,h\in{\mathbb R}[X]:\, f=g^2+h^2 .

Zgled Zapis polinoma kot vsote kvadratov ne rabi biti enoličen: \displaystyle  (2x)^2+(\sqrt 2(x^2+1))^2=(x^2+\sqrt 2x+1)^2+(x^2-\sqrt 2x+1)^2.

Za a,b\in{\mathbb R}_{\geq 0} velja

\displaystyle  \frac {a+b}2\geq \sqrt{ab}.

Zakaj že? Ker sta a,b\geq 0 , imata kvadratni koren, npr. \alpha,\beta\in{\mathbb R} z \alpha^2=a in \beta^2=b . Potem je

\displaystyle  \frac{a+b}2-\sqrt{ab}=\frac 12(\alpha-\beta)^2\geq 0.

Na podoben način bomo spodaj preverili pravilnost splošne neenakosti med aritmetično in geometrijsko sredino.

Fiksirajmo n\in{\mathbb N} in naj bo \bar  X=(X_1,\ldots,X_n) . Z {\mathbb R}[\bar X]  označimo kolobar realnih polinomov v n  spremenljivkah. Kot zgoraj, z \sum{\mathbb  R}[\bar X]^2 označimo vse vsote kvadratov v \mathbb R[\bar X].

Trditev 1.10. f\in\sum{\mathbb R}[\bar X]^2 \quad \Rightarrow \quad f|_{{\mathbb R}^n}\geq 0 .

Omenjena neenakost trdi, da za vse a_1,\ldots,a_n\in{\mathbb R}_{\geq 0} velja

\displaystyle  \frac{a_1+\cdots+a_n}n\geq \sqrt[n]{a_1\cdots a_n}.

Podobno kot prej zamenjamo a_i z X_i^{2n} . Tako vidimo, da zadošča dokazati nenegativnost polinoma h:=X_1^{2n}+\cdots+X_n^{2n}-n X_1^2\cdots X_n^2  .

Izrek 1.11 (Hurwitz) X_1^{2n}+\cdots+X_n^{2n}-n X_1^2\cdots X_n^2\in\sum{\mathbb R}[\bar X]^2 .

Dokaz izreka je potrebno narediti v sklopu prve domače naloge.

Zgled: Naj bo M=X_1^4X_2^2+X_1^2X_2^4-3X_1^2X_2^2+1. Potem je M|_{\mathbb R^2}\geq0 in M\not\in\Sigma\mathbb R[X_1,X_2]^2. M imenujemo Motzkinov polinom.

This entry was posted in Pedagoško delo, Realna algebraična geometrija (FMF), Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s