Predavanje MatR10.2: Linearna neodvisnost

I.2. Linearna kombinacija, (ne)odvisnost

Naj bodo \vec a_1,\ldots,\vec a_m\in\mathbb R^3 vektorji.

Definicija: Vektor oblike \lambda_1 \vec a_1+\cdots + \lambda_m \vec a_m za neke \lambda_1,\ldots,\lambda_m\in\mathbb R, imenujemo linearna kombinacija vektorjev \vec a_1,\ldots, \vec a_m. \lambda_1,\ldots,\lambda_m pa so koeficienti linearne kombinacije. Če je vsaj en neničeln, potem govorimo o netrivialni linearni kombinaciji. Če so vsi \lambda_i=0, potem gre za trivialno linearno kombinacijo.

Definicija: Množico vseh linearnih kombinacij vektorjev \vec a_i označimo z V. Torej je V=\{\lambda_1 \vec a_1+\cdots + \lambda_m \vec a_m\mid \lambda_i\in\mathbb R\} \subseteq \mathbb R^3. Rečemo ji vektorski podprostor \mathbb R^3.

Definicija: Vektorji \vec a_1,\ldots, \vec a_n so linearno odvisni, če obstajajo skalarji \lambda_1,\ldots, \lambda_n\in\mathbb R, ki niso vsi enaki 0, za katere velja \lambda_1\vec a_1+\cdots+ \lambda_n \vec a_n=0. V nasprotnem primeru so vektorji \vec a_1,\ldots, \vec a_n linearno neodvisni. Ekvivalentno: noben od \vec a_i ni linearna kombinacija vseh ostalih \vec a_j.

Opazimo, da je vsaka množica vektorjev, ki vsebuje 0, linearno odvisna.

Zgled:

  1. Vektorja \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\in\mathbb R^2 sta linearno neodvisna.
  2. Vektorji \begin{bmatrix}1\\-1\\1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}-1\\-1\\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\4\\-2\end{bmatrix}\in\mathbb R^3 so linearno odvisni.
  3. Vektorji \vec i=\begin{bmatrix}1\\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \vec j=\begin{bmatrix}0\\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \vec k=\begin{bmatrix}0\\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} iz \mathbb R^3 so linearno neodvisni. Imenujemo jih standardna baza prostora \mathbb R^3.

Zgled:

  1. Vektor \vec a je linearno neodvisen natanko tedaj, ko \vec a\neq 0.
  2. Neničelna vektorja \vec a,\vec b sta linearno odvisna natanko tedaj, ko ležita na isti premici (tj., ko sta kolinearna). V nasprotnem primeru vektorski podprostor V=\{\lambda \vec a+\mu \vec b \mid \lambda,\mu\in\mathbb R\} predstavlja ravnino, ki jo napenjata \vec a,\vec b in gre skozi izhodišče.
  3. Neničelni vektorji \vec a,\vec b,\vec c so linearno odvisni natanko tedaj, ko ležijo v isti ravnini (so koplanarni). V nasprotnem primeru so baza \mathbb R^3, saj lahko vsak vektor zapišemo kot enolično linearno kombinacijo \vec a,\vec b,\vec c.
This entry was posted in Matrični račun (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s