Predavanje MatR10.1: Kdo ali kaj so (geometrijski) vektorji?

I. GEOMETRIJSKI VEKTORJI

I.1. Osnovne definicije

Osnovni gradniki, s katerimi se bomo v tem poglavju ukvarjali, so

  • množica realnih števil \mathbb R;
  • množica urejenih parov realnih števil \mathbb R^2=\mathbb R \times \mathbb R = \{ (x,y) \mid x,y\in\mathbb R\};
  • množica urejenih trojic realnih števil \mathbb R^e=\mathbb R \times \mathbb R \times \mathbb R = \{ (x,y,z) \mid x,y,z\in\mathbb R\}.

Pri tem si lahko \mathbb R predstavljamo kot množico točk na premici, \mathbb R^2 je množica točk v ravnini, \mathbb R^3 pa je množica točk v prostoru. V nadaljevanju se bomo osredotočili na \mathbb R^3, pri čemer vsi pojmi smiselno veljajo tudi v \mathbb R^2.

Na \mathbb R^3 vpeljemo dve operaciji:

  1. seštevanje +: (a_1,a_2,a_3)+(b_1,b_2,b_3)=(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3);
  2. množenje s skalarjem (=realno število): \lambda (a_1,a_2,a_3)=(\lambda a_1,\lambda a_2,\lambda a_3).

Vsaka točka v \mathbb R^3 je podana s tremi koordinatami (komponentami) in predstavlja točko A iz \mathbb R^3.

Lastnosti seštevanja:

  1. komutativnost: za vse A,B\in\mathbb R^3 velja A+B=B+A;
  2. asociativnost: za vse A,B,C\in\mathbb R^3 velja A+(B+C)=(A+B)+C;
  3. obstoj nevtralnega elementa: obstaja O\in\mathbb R^3, da za vsak A\in\mathbb R^3 velja A+O=A;
  4. obstoj nasprotnega elementa: za vsak A\in\mathbb R^3 obstaja B\in\mathbb R^3 z A+B=O.

Pri tem je točka O iz lastnosti 3 izhodišče, torej točka (0,0,0). Nasprotni element točke A(a_1,a_2,a_3) je točka -A s koordinatami (-a_1,-a_2,-a_3).

Lastnosti množenja s skalarjem:

  1. \forall \lambda\in\mathbb R, \; \forall A,B\in\mathbb R^3: \lambda (A+B)=\lambda A + \lambda B;
  2. \forall \lambda, \mu \in\mathbb R, \; \forall A\in\mathbb R^3: (\lambda+\mu) A=\lambda A + \mu B;
  3. \forall \lambda, \mu \in\mathbb R, \; \forall A\in\mathbb R^3: (\lambda\mu) A=\lambda (\mu A);
  4. \forall A\in\mathbb R^3: 1 A=A.

Množico V, ki je opremljena s seštevanjem in množzenjem s skalarji, in izpolnjuje zgornjih 8 lastnosti, imenujemo vektorski prostor, njeni elementi pa so vektorji. Tako so (algebraični) vektorji preprosto elementi \mathbb R^3, saj je (\mathbb R^3,+,\cdot) vektorski prostor.

Poglejmo si še geometrijsko interpretacijo.

Usmerjena daljica \vec{AB} je usmerjeni par točk (A,B), kjer je A začetna točka, B pa končna točka. Če je začetna točka enaka izhodišču O, potem takšni usmerjeni daljici rečemo (geometrijski) vektor. Vektorji so torej usmerjene daljice \vec{OA} za kakšno točko A\in\mathbb R^3.

Natančneje: dve usmerjeni daljici sta ekvivalentni, če lahko eno dobimo iz druge z vzporednim premikov. Z enačbo: \vec{AB} \sim \vec{CD} natanko tedaj, ko je B-A=D-C. Vektor prirejen \vec {AB} je potem ekvivalenčni razred [\vec{AB}] glede na to ekvivalenčno relacijo. Vsak razred ima kanoničnega predstavnika, tj. usmerjena daljica z začetno točko O. Vektorju oblike \vec{OA} pravimo krajevni vektor točke A in ga ponavadi označimo z \vec r_A.

Operaciji na \mathbb R^3, ki smo ju vpeljali zgoraj, imata naslednji geometrijski interpretaciji: seštevanje tock je seštevanje ustreznih krajevnih vektorjev, množenje s skalarjem pa ‘raztegovanje’ vektorjev.

This entry was posted in Matrični račun (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

One Response to Predavanje MatR10.1: Kdo ali kaj so (geometrijski) vektorji?

  1. Pingback: Predavanje MatR10.5: Vektorji v R^n « igor's math Blog

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s