Predavanje LA010.12: Normalni operatorji

Definicija: Kompleksni matriki A\in M_{m\times n}(\mathbb C) priredimo hermitsko transponiranko A^h\in M_{n\times m}(\mathbb C) s predpisom A^h=\overline {A^t}, kjer je A^t transponiranka matrike A. Torej je A^h_{i,j}=\overline {A_{j,i}}.

Izrek: Naj bo \mathcal A:U\to V operator, \mathcal B ortonormirana baza za U in \mathcal C ortonormirana baza za V. Potem je \mathcal A^*[\mathcal C,\mathcal B]= (\mathcal A[\mathcal B,\mathcal C])^h.

Lema: \ker \mathcal A^*=({\rm im}\,\mathcal A)^\perp.

VII.2. Normalni operatorji

Definicija: Endomorfizem \mathcal A:V\to V imenujemo normalen, če velja \mathcal A\mathcal A^*=\mathcal A^*\mathcal A. Matrika A je normalna, če je AA^h=A^hA.

Trditev: Endomorfizem \mathcal A:V\to V je normalen natanko tedaj, ko za vse u,v \in V velja \langle \mathcal Au, \mathcal Av\rangle=\langle \mathcal A^* u,\mathcal A^* v\rangle.

Posledica: Za normalen endomorfizem \mathcal A:V\to V velja \|\mathcal Av\|=\|\mathcal A^*v\| za vse v\in V.

Posledica: Za normalen endomorfizem \mathcal A:V\to V je \ker\mathcal A=\ker\mathcal A^*.

Izrek: Za normalen endomorfizem \mathcal A:V\to V obstaja ortonormirana baza \mathcal B prostora V, da je matrika \mathcal A[\mathcal B,\mathcal B] diagonalna.

V sklopu dokaza tega izreka opazimo, da sta lastna vektorja normalnega operatorja, ki pripadata različnim lastnim vrednostim, otogonalna. Hkrati je v lastni vektor za \mathcal A ob lastni vrednosti \lambda natanko tedaj, ko je v lastni vektor za \mathcal A^* ob lastni vrednosti \bar\lambda.

VII.3. Sebi-adjungirani operatorji

Definicija: Endomorfizem \mathcal A:V\to V je sebi-adjungiran, če velja \mathcal A=\mathcal A^*. Če je V evklidski (unitaren) prostor, potem \mathcal A rečemo simetričen (hermitski) operator. Kvadratna matrika A\in M_{n\times n}(\mathbb C) je sebi-adjungirana (hermitska), če je A=A^h. Če je A realna, potem ji rečemo simetrična.

Očitno je vsak sebi-adjungiran operator normalen in ga lahko zato diagonaliziramo v ortonormirani bazi.

Trditev: Endomorfizem \mathcal A:V\to V je sebi-adjungiran natanko tedaj, ko za vse u,v \in V velja \langle \mathcal Au, v\rangle=\langle u,\mathcal A v\rangle.

Trditev: Sebi-adjungiran operator ima same realne lastne vrednosti.

Izrek: Naj bo \mathcal A:V\to V sebi-adjungiran in \mathcal B ortonormirana baza za V. Potem je \mathcal A[\mathcal B,\mathcal B]= (\mathcal A[\mathcal B,\mathcal B])^h.

Trditev: Naj bo \mathcal A:V\to V sebi-adjungiran in U unitaren. Potem obstajata sebi-adjungirana \mathcal B,\mathcal C:V\to V, za katera je \mathcal A=\mathcal B+i \mathcal C.

VII.4. Unitarni in ortogonalni operatorji

Definicija: Endomorfizem \mathcal A:V\to V je unitaren, če velja \mathcal A \mathcal A^*= I = \mathcal A^* \mathcal A. Če je V evklidski prostor, potem \mathcal A rečemo ortogonalen operator. Kvadratna matrika A\in M_{n\times n}(\mathbb C) je unitarna, če je AA^h=I=A^hA. Če je A realna, potem ji rečemo ortogonalna.

Očitno je vsak unitaren operator normalen in ga lahko zato diagonaliziramo v ortonormirani bazi.

Izrek: Za endomorfizem \mathcal A:V\to V so naslednje trditve ekvivalentne:

  1. \mathcal A je unitaren;
  2. za vse u,v \in V velja \langle \mathcal Au, \mathcal Av\rangle=\langle u, v\rangle (\mathcal A je izometrični izomorfizem);
  3. \mathcal A \mathcal A^*= I;
  4. \mathcal A^* \mathcal A= I;
  5. \mathcal A^* je unitaren.

Izrek: Endomorfizem \mathcal A:V\to V je unitaren natanko takrat, ko slika ortonormirane baze v ortonormirane baze.

Trditev: Kvadratna matrika je unitarna natanko takrat, ko njeni stolpci (in njene vrstice) tvorijo ortonormirano bazo.

Trditev: Za lastno vrednost \lambda unitarnega operatorja velja |\lambda|=1.

VII.5. Pozitivno (semi)definitni operatorji

Definicija: Sebi-adjungirani \mathcal A:V\to V je

  1. pozitivno semidefiniten, če za vse v\in V velja \langle \mathcal Av,v\rangle\geq0;
  2. pozitivno definiten, če za vse v\in V\setminus\{0\} velja \langle \mathcal Av,v\rangle > 0.

Izrek: Sebi-adjungirani \mathcal A:V\to V je pozitivno semidefiniten natanko takrat, ko obstaja \mathcal B:V\to V, da velja \mathcal A=\mathcal B^*\mathcal B.

Posledica: Sebi-adjungirani \mathcal A:V\to V je pozitivno definiten natanko takrat, ko obstaja obrnljiv \mathcal B:V\to V, da velja \mathcal A=\mathcal B^*\mathcal B.

Izrek: Sebi-adjungirani operator je

  1. pozitivno semidefiniten natanko takrat, ko so vse njegove lastne vrednosti nenegativne;
  2. pozitivno definiten natanko takrat, ko so vse njegove lastne vrednosti pozitivne.

Posledica: Sebi-adjungirani operator je pozitivno definiten natanko takrat, ko je pozitivno semidefiniten in obrnljiv.

VII.6. Ortogonalni projektor

Definicija: Endomorfizem \mathcal P:V\to V je ortogonalni projektor, če velja \mathcal P^2=\mathcal P^*=\mathcal P.

This entry was posted in Linearna algebra (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s