Predavanje LA010.11: Ortogonalnost, Rieszov izrek

Izrek (Gram-Schmidtova ortogonalizacija): Naj bo \{v_1,\ldots,v_n\} baza vektorskega prostora s skalarnim prostorom V. Tedaj je množica \{w_1,\ldots,w_n\}, kjer je \begin{array}{rcl} w_1 &=& v_1 \\ w_2&=&v_2-\frac{ \langle v_2,w_1\rangle}{\langle w_1,w_1\rangle} w_1 \\ & \vdots \\ w_n & = & v_n - \sum_{i=1}^{n-1} \frac{ \langle v_n,w_i\rangle}{\langle w_i,w_i\rangle} w_i,\end{array} ortogonalna baza za V.

Posledica: Vsak vektorski prostor s skalarnim prostorom V dopušča ortonormirano bazo.

Definicija: Vektorska prostora s skalarnim prostorom V_1,V_2 sta izomorfna, če obstaja obrnljiva linearna preslikava \mathcal A:V_1\to V_2, za katero velja \langle u,v\rangle_1=\langle \mathcal Au,\mathcal Av\rangle_2 za vse u,v\in V_1. Taki preslikavi pravimo izometrični izomorfizem.

Izrek: Vektorska prostora nad \mathbb F s skalarnim produktom V_1,V_2 sta izomorfna natanko tedaj, ko imata isto dimenzijo.

VI.3. Ortogonalni komplementi

Še naprej bodo vsi vektorski prostori, v kolikor ne bo omenjeno drugače, opremljeni s skalarnim produktom.

Definicija: Naj bo V vektorski prostor in W\leq V. Potem W^\perp=\{u\in V\mid \forall w\in W:\, \langle u,w\rangle=0\} imenujemo ortogonalni komplement podprostora W.

Izrek: Naj bo V vektorski prostor in W\leq V. Potem je W^\perp \leq V in V=W\oplus W^\perp.

Posledica: Naj bo V vektorski prostor in W\leq V. Potem je:

  1. \dim(W)+\dim(W^\perp)=\dim (V);
  2. W=(W^\perp)^\perp.

Izrek (Schur): Za vsak endomorfizem \mathcal A:V\to V obstaja ortonormirana baza \mathcal B prostora V, da je matrika \mathcal A[\mathcal B,\mathcal B] zgornje trikotna.

VI.4. Dualni prostor in Rieszov izrek

Definicija: Naj bo U vektorski prostor nad \mathbb F. Vektorski prostor vseh linearnih preslikav U\to\mathbb F imenujemo dualni prostor prostora U in ga označimo z U^*. Elemente tega prostora imenujemo tudi linerni funkcionali.

Torej je U^*=\mathcal L(U,\mathbb F).

Trditev: \dim (U)=\dim(U^*).

Bazi \mathcal B=\{u_1,\ldots,u_n\} prostora U lahko priredimo dualno bazo \{f_1,\ldots,f_n\} prostora U^*. To tvorijo takšni linearni funkcionali f_i\in U^*, za katere velja f_i(u_j)=\delta_{i,j}=\begin{cases} 1, & i=j \\ 0, & i\neq j.\end{cases}

Izrek (Riesz): Naj bo V vektorski prostor s skalarnim produktom. Potem za vsak f\in V^* obstaja enoličen u_f\in V, da za vsak x\in V velja f(x)=\langle x,u_f\rangle.

Poglavje VII: Operatorji v vektorskih prostorih s skalarnim produktom

VII.1. Adjungirani operator

Izrek: Naj bo \mathcal A:U\to V operator. Potem obstaja natanko en operator \mathcal A^*:V\to U z lastnostjo \langle \mathcal Au,v\rangle=\langle u,\mathcal A^* v\rangle za vse u\in U in v\in V.

Definicija: Operatorju \mathcal A^* pravimo adjungirani operator.

Trditev: Naj bo \mathcal A:U\to V operator in \{u_1,\ldots,u_n\} ortonormirana baza za U. Potem za vsak v\in V velja \mathcal A^*v=\sum_{i=1}^n \langle v,\mathcal Au_i\rangle u_i.

Trditev: Za adjungirani operator veljajo naslednje lastnosti:

  1. (\alpha \mathcal A)^*= \bar\alpha \mathcal A^*;
  2. (\mathcal A+\mathcal B)^*=\mathcal A^*+\mathcal B^*;
  3. (\mathcal A \mathcal B)^*=\mathcal B^* \mathcal A^*;
  4. (\mathcal A^*)^*=\mathcal A;
  5. 0^*=0 in I^*=I.
This entry was posted in Linearna algebra (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s