Predavanje LA010.10: J.K.F.; skalarni produkt

V.3. Jordanova kanonična forma – primeri

Naj bo \mathcal A:U\to U endomorfizem in m_{\mathcal A}=(X-\lambda_1)^{n_1}\cdots (X-\lambda_r)^{n_r}, p_{\mathcal A}=(-1)^{e_1+\cdots+e_r} (X-\lambda_1)^{e_1}\cdots (X-\lambda_r)^{e_r}. Potem obstaja baza \mathcal B za U, da velja \mathcal A[\mathcal B,\mathcal B]=\begin{bmatrix} J_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & J_2 & & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & J_r\end{bmatrix}, kjer so J_i Jordanovi bloki. Torej je \lambda_i edina lastna vrednost za J_i, m_{J_i}=(X-\lambda_i)^{n_i} in p_{J_i}=(-1)^{e_i} (X-\lambda_i)^{e_i}. Število Jordanovih blokov je r, kar je število lastnih vrednosti. Velikost bloka J_i je n_i\times n_i.

Posamični blok J_i pa je bločno diagonalno sestavljena iz Jordanovih kletk, tj., matrik oblike

\begin{bmatrix} \lambda_i & 1 \\ & \lambda_i & \ddots \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda_i & 1 \\ & & & & \lambda_i \end{bmatrix}.

Pri tem je število kletk, ki nastopajo v J_i enako dimenziji lastnega podprostora za lastno vrednost \lambda_i. Največja kletka je velikosti e_i\times e_i.

  1. Naj bo A=\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1\end{bmatrix}\in M_4(\mathbb C). Potem je p_A=(X-1)^4. Izračunajmo (A-I)^2=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1\\ -1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & -1\end{bmatrix} in (A-I)^3=0. S tem vidimo m_A=(X-1)^3. Tako že lahko povemo Jordanovo kanonično formo matrike A: imela bo eno kletko dolžine 3 in s tem nam ostane le še ena možnost J=\begin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}. Za matriko prehoda se moramo bolj potruditi. \ker(A-I) napenjata \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1\end{bmatrix}, \ker(A-I)^2 napenjajo \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}, velja pa še \ker(A-I)^3=\mathbb C^4. Naj bo a_1=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\in\ker(A-I)^3\setminus\ker(A-I)^2. Potem je b_1=(A-I)a_1=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0\end{bmatrix} in c_1=(A-I)b_1=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1\end{bmatrix}. Hkrati dopolnimo še z npr. c_2=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} do baze \{c_1,b_1,a_1,c_2\} za \mathbb C^4. S tem hkrati za P=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0\\ -1 & -1 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} velja P^{-1}AP=J.
  2. Naj bo A=\begin{bmatrix} 2 & & 1 \\ 1 & 2\\ & & 2 \\ & & & 2 & & & & 1\\ & & & & 2 & & & & 1\\ & & & 1 & & 2 \\ & & & & & & 2\\ & & & & & & & 2\\ & & & & & & & & 2\\ & & & & & & & & &2\end{bmatrix}. Hitro vidimo p_A=(X-2)^{10}. Pišimo B=A-2 I. Potem velja npr. B^2\neq 0=B^3. Računamo baze za jedra potenc matrike B. Dobimo \{e_{10},e_7,e_6,e_5,e_2\} kot bazo za \ker B, \{e_{10},e_9,e_7,e_6,e_5,e_4,e_2,e_1\} je baza za \ker B^2 in bazo za \ker B^3 tvorijo vsi e_i, i=1,\ldots, 10. (Tukaj smo z e_i označili enotski vektor dolžine 10, ki ima na mestu i enico, drugod pa ničle.) Tvorimo bazo \mathbb C^{10}: a_1=e_3, a_2=e_8. Potem je b_1=Ba_1=e_1, b_2=Ba_2=e_4. Dopolnimo z b_3=e_9. Tvorimo c_1=Bb_1=e_2,c_2=Bb_2=e_6, c_3=Bb_3=e_5. Do končne baze dopolnimo z c_4=e_7,c_5=e_{10}. V matriko P zložimo kot stoplce vektorje e_6,e_4,e_8,e_2,e_1,e_3,e_5,e_9,e_7,e_{10}. Potem je P^{-1}BP Jordanov blok (z lastno vrednostjo 0) in 2 kletkama velikosti 3\times 3 in po eno kletko velikosti 2\times 2 in 1\times 1. Če namesto B vstavimo A=B+2I, dobimo želen rezultat (matrika ima isto strukturo Jordanovih kletk, le da ima 2 po diagonali).
  3. Za matriko A=\begin{bmatrix} 3 & 1 & 2 & -4 & -1 \\ 0 & 3 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2\end{bmatrix} z P=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 5 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1\end{bmatrix} in J=\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ & 3 & 1 \\ & & 3 \\ & & & 2 & 1 \\ & & & & 2\end{bmatrix} velja P^{-1}AP=J.

Poglavje VI: Skalarni produkt

Spomnimo se skalarnega produkta dveh vektorjev \vec a,\vec b\in\mathbb R^3: \vec a\cdot \vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3. Lastnosti le tega nam služijo kot motivacija za posplošitev na splošen vektorski prostor nad \mathbb R ali \mathbb C.

V tem razdelku bo \mathbb F=\mathbb R ali \mathbb F=\mathbb C.

VI.1. Evklidski in unitarni prostori

Definicija: Naj bo V vektorski prostor nad \mathbb F. Tedaj je preslikava \langle \textvisiblespace\, , \textvisiblespace\rangle:V\times V\to\mathbb F skalarni produkt, če zadošča naslednjim lastnostim:

  1. \langle u,u\rangle \geq 0 za vse u\in V in \langle u,u\rangle=0 \quad \Leftrightarrow\quad u=0 (pozitivna definitnost);
  2. \langle u,v\rangle=\overline {\langle v,u\rangle} za vse u,v\in V ((poševna) simetričnost);
  3. \langle \alpha u+\beta v,w\rangle=\alpha \langle u,w\rangle+\beta \langle v,w\rangle za vse u,v\in V in \alpha,\beta\in\mathbb F (linearnost v prvi komponenti).

Opomba:

  1. Za vsak u\in V velja \langle u,0\rangle=\langle 0,u\rangle=0.
  2. \langle w,\alpha u+\beta v\rangle=\overline \alpha \langle w,u\rangle+\overline \beta \langle w,v\rangle za vse u,v\in V in \alpha,\beta\in\mathbb F (poševna linearnost v drugi komponenti).
  3. Če je \mathbb F=\mathbb R, potem je skalarni produkt simetričen in linearen v obeh komponentah. Taki preslikavi rečemo bilinearna.

Zgled:

  1. \mathbb R^2 ali \mathbb R^3 s standardnim skalarnim produktom. Primer na naraven način posplošimo na \mathbb R^n.
  2. V \mathbb C^n je standarden skalaren produkt sledeča perslikava: \langle x,y\rangle=\sum_{i=1}^n x_i \overline y_i.

Definicija: V vektorskem prostoru s skalarnim produktom V lahko vpeljemo normo s predpisom \|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}.

Izrek (neenakost Cauchy-Schwarz-Bunjakowski): Za vektorja u,v vektorskega prostora s skalarnim produktom V velja |\langle u,v\rangle|\leq \|u\| \, \|v\|.

Posledica: Za poljubna realna števila x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_n velja (\sum_i x_i y_i)^2 \leq (\sum_i x_i^2)(\sum_i y_i^2).

Trditev (trikotniška neenakost): Za vektorja u,v vektorskega prostora s skalarnim produktom V velja \|u+v\|\leq \|u\|+\|v\|.

Posledica: Norma \| \textvisiblespace \| : V \to \mathbb R_{\geq 0} ima naslednje lastnosti:

  1. \|x\|\geq 0 in \|x\|=0 natanko za x=0;
  2. \|\alpha x\|=|\alpha|\, \|x\|;
  3. \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|

za vse x,y\in V in \alpha\in\mathbb F.

VI.2. Pravokotnost in ortogonalne baze

Od zdaj naprej bodo, v kolikor ne bo omenjeno drugače, vsi vektorski prostori opremljeni s skalarnim produktom.

Definicija: Kot \varphi\in [0,\pi] med dvema vektorjema u,v je tisti kot, ki zadošča \cos \varphi=\frac{ \langle u,v\rangle}{\|u\|\, \|v\|}.

Definicija: Vektorja u,v sta pravokotna (ortogonalna), če je njun skalarni produkt \langle u,v\rangle=0.

Definicija: Množica vektorjev M\subseteq V je ortogonalna, če sta poljubna različna vektorja iz M med sabo pravokotna. Če ima zraven tega še vsak vektor dolžino (normo) enako 1, potem M imenujemo ortonormirana.

Trditev: Vsaka ortogonalna množica vektorjev je linearno neodvisna.

This entry was posted in Linearna algebra (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s