Predavanje LA010.9: Jordanova kanonična forma

Poglavje V: Jordanova kanonična forma

V.1. Invariantni podprostori, primarna dekompozicija in spektralni razcep

Definicija: Naj bo \mathcal A:V\to V endomorfizem. Vektorski podprostor W\leq V je invarianten podprostor za \mathcal A, če za vsak w\in W velja \mathcal Aw\in W, tj., \mathcal AW\subseteq W.

Zgled:

  1. \{0\}, V sta vselej invariantna podprostora.
  2. Vsak lastni podprostor \mathcal A je invarianten za \mathcal A.
  3. Če je \mathcal A:\mathbb R^3\to\mathbb R^3 rotacija (za nek kot) okrog \vec a, potem sta W_1=Lin(\vec a) in W_2=ravnina skozi izhodišče z normalo \vec a= \{\vec x\in\mathbb R^3 \mid \vec a\cdot \vec x=0\} invariantna podprostora za \mathcal A. Velja celo \mathbb R^3=W_1\oplus W_2.

Lema: Naj bosta p_1,p_2\in\mathbb C[X] polinoma brez skupne ničle. Potem obstajata q_1,q_2\in\mathbb C[X], da velja p_1q_1+p_2q_2=1.

Trditev: Naj bo \mathcal A:V\to V endomorfizem, V=W_1\oplus W_2 \oplus \cdots \oplus W_r, kjer so vsi podprostori W_i invariantni za \mathcal A. Naj bodo \mathcal B_1,\ldots, \mathcal B_r baze za W_1,\ldots, W_r. Potem je \mathcal B=\mathcal B_1\cup\cdots\cup \mathcal B_r baza za V in \mathcal A[\mathcal B,\mathcal B]=\begin{bmatrix} A_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & A_2 & & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & A_r\end{bmatrix}.

Definicija: Naj bo \mathcal A:V\to V endomorfizem in m_{\mathcal A}=(X-\lambda_1)^{e_1}\cdots (X-\lambda_r)^{e_r} njegov minimalni polinom. Tedaj prostoru \ker \big( (\mathcal A-\lambda_i I)^{e_i}\big) pravimo posplošeni lastni podprostor (včasih tudi korenski podprostor) preslikave \mathcal A za lastno vrednost \lambda_i.

Opomba: Če je kakšen e_i=1, potem dobimo običajen lastni podprostor.

Lema: Vsak posplošeni lastni podprostor za \mathcal A je invarianten za \mathcal A.

Izrek (primarna dekompozicija): Naj bo \mathcal A:V\to V endomorfizem in m_{\mathcal A}=(X-\lambda_1)^{e_1}\cdots (X-\lambda_r)^{e_r}. Pišimo W_i=\ker \big( (\mathcal A-\lambda_i I)^{e_i}\big). Potem je V=W_1\oplus \cdots \oplus W_r.

Posledica (spektralni razcep): Ohranimo oznake iz prejšnjega izreka. Naj bodo \mathcal B_1,\ldots, \mathcal B_r baze za W_1,\ldots, W_r. Potem je \mathcal B=\mathcal B_1\cup\cdots\cup \mathcal B_r baza za V in \mathcal A[\mathcal B,\mathcal B]=\begin{bmatrix} A_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & A_2 & & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & A_r\end{bmatrix}.

Zgled: Naj bo \mathcal A:\mathbb R^3\to\mathbb R^3 linearna preslikava \begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix}\mapsto \begin{bmatrix} x+2y+z \\ x-y+z \\ 2x+z\end{bmatrix}. Tej preslikavi v standardni bazi \mathbb R^3 pripada matrika A= \begin{bmatrix} 1&2&1 \\ 1&-1&1 \\ 2& 0 & 1 \end{bmatrix}. Njej karakteristični polinom je p_A=- (\lambda+1)^2 (\lambda-3). Potem je (A+I)^2= \begin{bmatrix} 8&4&6 \\ 4&2&3 \\ 8&4&6 \end{bmatrix} in njeno jedro W_1=Lin( \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 0\end{bmatrix},  \begin{bmatrix} 0 \\ -3 \\ 2\end{bmatrix}). Podobno izračunamo še W_2=Lin( \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 2\end{bmatrix}). Glede na bazo \mathcal B=\{ \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 0\end{bmatrix},  \begin{bmatrix} 0 \\ -3 \\ 2\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 2\end{bmatrix}\} ima preslikava \mathcal A matriko \mathcal A[\mathcal B,\mathcal B]=\begin{bmatrix} -3 & 4 & 0 \\ -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}.

V.2. Jordanova kanonična forma – teorija

Kot smo videli zgoraj, lahko vsakemu endomorfizmu U\to U najdemo bazo, v kateri mu pripada bločno diagonalna matrika sestavljena iz blokov A_i, ki imajo natanko eno lastno vrednost. Tako se lahko omejimo na študij enega takega bloka: naj bo \mathcal A:U\to U endomorfizem z eno samo lastno vrednostjo, ki jo poimenujemo \lambda. Naj bo p_{\mathcal A}=(-1)^\lambda (X-\lambda)^n pripadajoč karakteristični polinom in m_{\mathcal A}=(X-\lambda)^k minimalni polinom.

Očitno velja \ker(\mathcal A-\lambda I) \subseteq \ker(\mathcal A-\lambda I)^2\subseteq \cdots \subseteq\ker(\mathcal A-\lambda I)^k = U. Sedaj postopoma tvorimo bazo U takole: začnemo z bazo \mathcal B_1 za \ker(\mathcal A-\lambda I). Dopolnimo jo do baze \mathcal B_2 za \ker(\mathcal A-\lambda I)^2. Postopek nadaljujemo, dokler ne dobimo baze \mathcal B_k za U=\ker(\mathcal A-\lambda I)^k.

V nadaljevanju preoblikujemo to bazo. Naj bodo a_1,\ldots, a_{n_1} vsi elementi množice \mathcal B_k\setminus\mathcal B_{k-1}. V posebnem velja a_j\in \ker(\mathcal A-\lambda I)^k\setminus\ker(\mathcal A-\lambda I)^{k-1}. Tvorimo b_j=(\mathcal A-\lambda I)a_j za j=1,\ldots, n_1.

Lema:

  1. b_j\in \ker(\mathcal A-\lambda I)^{k-1}\setminus\ker(\mathcal A-\lambda I)^{k-2} za j=1,\ldots, n_1.
  2. Množica \{a_1,\ldots,a_{n_1},b_1,\ldots,b_{n_1}\} je linearno neodvisna.

Sedaj poiščemo take vektorje b_{n_1+1},\ldots,b_{n_2}\in\ker(\mathcal A-\lambda I)^{k-1}\setminus\ker(\mathcal A-\lambda I)^{k-2}, da bo množica \mathcal B_{k-2}\cup\{a_1,\ldots,a_{n_1},b_1,\ldots,b_{n_1},b_{n_1+1},\ldots,b_{n_2}\} baza za U. Z drugimi besedami: Lin(a_1,\ldots,a_{n_1},b_1,\ldots,b_{n_1},b_{n_1+1},\ldots,b_{n_2})= Lin\Big(( \mathcal B_{k}\setminus \mathcal B_{k-1}) \cup (\mathcal B_{k-1}\setminus \mathcal B_{k-2})\Big).

V nadaljevanju tvorimo c_j=(\mathcal A-\lambda I)b_j za j=1,\ldots, n_2. Kot zgoraj vidimo c_j\in \ker(\mathcal A-\lambda I)^{k-2}\setminus\ker(\mathcal A-\lambda I)^{k-3} za j=1,\ldots, n_2. Z c_{n_2+1},\ldots, c_{n_3}\in\ker(\mathcal A-\lambda I)^{k-2}\setminus\ker(\mathcal A-\lambda I)^{k-3} dopolnimo prejšnje vektorje a_i,b_i,c_i do baze za Lin\Big(( \mathcal B_{k}\setminus \mathcal B_{k-1}) \cup (\mathcal B_{k-1}\setminus \mathcal B_{k-2})\cup (\mathcal B_{k-2}\setminus \mathcal B_{k-3})\Big). Da to res lahko storimo, nam zagotavlja

Lema: Če bazo \{u_1,\ldots,u_r\} za \ker (\mathcal A-\lambda I)^j razširimo do baze \{u_1,\ldots,u_r,v_1,\ldots,v_s\} za \ker (\mathcal A-\lambda I)^{j+1} in dalje do baze \{u_1,\ldots,u_r,v_1,\ldots,v_s,w_1,\ldots,w_t\} za \ker (\mathcal A-\lambda I)^{j+2}, potem je \{u_1,\ldots,u_r, (\mathcal A-\lambda I)w_1,\ldots, (\mathcal A-\lambda I)w_t\} \subseteq\ker (\mathcal A-\lambda I)^{j+1} linearno neodvisna množica.

Preoblikovanje osnovne baze nadaljujemo in po opravljenih k korakih končamo s takšno sliko (pri čemer iz vrstice pridemo v sosednjo spodnjo vrstico z apliciranjem \mathcal A-\lambda I):

\begin{array}{ccccccccccccc}a_1, &\cdots, & a_{n_1} \\ b_1, &\cdots, & b_{n_1}, & b_{n_1+1}, & \cdots, & b_{n_2} \\c_1, &\cdots, & c_{n_1}, & c_{n_1+1}, & \cdots, & c_{n_2}, & c_{n_2+1}, & \cdots , & c_{n_3}\\ \vdots & & & & & \vdots \\ z_1, &\cdots, & c_{n_1}, & c_{n_1+1}, & \cdots, & c_{n_2}, & c_{n_2+1}, & \cdots , & c_{n_3}, & \cdots, & z_{n_{k-1}+1}, & \cdots, & z_{n_k}\end{array}

Trditev: Vektorji v zgornji tabeli tvorijo bazo za U.

To bazo za U uredimo na sledeč način: z_1,\ldots,c_1,b_1,a_1,z_2,\ldots,a_2, \ldots, z_{n_k}. Velja

\begin{array}{rcl}\mathcal Az_1 & = & \lambda z_1 \\ & \vdots \\ \mathcal Ab_1 & = & \lambda b_1 + c_1\\ \mathcal Aa_1 & = & \lambda a_1 + b_1 \end{array}

Torej bo v naši bazi preslikavi \mathcal A imela matriko, ki bo bločno diagonalno sestavljena iz matrik oblike

\begin{bmatrix} \lambda & 1 \\ & \lambda & \ddots \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda & 1 \\ & & & & \lambda \end{bmatrix}

ki jim pravimo Jordanove kletke. Konstruirana baza je Jordanova baza.

Izrek: Naj bo \mathcal A:U\to U endomorfizem z minimalnim polinomom m_{\mathcal A}=(X-\lambda)^k. Potem obstaja taka baza \mathcal B za U, da je \mathcal A[\mathcal B,\mathcal B] sestavljena iz Jordanovih kletk; njihovo število je dimenzija lastnega podprostora, velikost največje kletke pa je k\times k.

Posledica: Naj bo \mathcal A:U\to U endomorfizem z minimalnim polinomom m_{\mathcal A}=(X-\lambda_1)^{e_1}\cdots (X-\lambda_r)^{e_r}. Potem obstaja taka baza \mathcal B za U, da je \mathcal A[\mathcal B,\mathcal B] sestavljena iz Jordanovih blokov (za vsako od r različnih lastnih vrednostih po en), kot so opisani v prejšnjem izreku.

Tej matriki \mathcal A[\mathcal B,\mathcal B] pravimo Jordanova kanonična forma endomorfizma \mathcal A. Je enolična do vrstnega reda blokov in kletk.

Posledica: Vsaka kvadratna matrika premore Jordanovo kanonično formo.

Posledica: Matriki A,B\in M_n(\mathbb C) sta si podobni, če imata (do vrstnega reda blokov in kletk) enako Jordanovo kanonično formo.

This entry was posted in Linearna algebra (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s