Predavanje LA010.8: Karakteristični polinom

IV.4. Minimalni polinom

Izrek: Naj bo U vektorski prostor nad \mathbb F in \mathcal A:U\to U endomorfizem. Tedaj obstaja polinom p\in\mathbb F[X] z p(\mathcal A)=0.

Če je p polinom, ki uniči \mathcal A, potem je tudi (pq)(\mathcal A)=p(\mathcal A)q(\mathcal A)=0 za vsak polinom q. V posebnem iz izreka sledi, da za vsak endomorfizem obstaja polinom z vodilnim koeficientom 1, ki ga uniči.

Definicija: Polinom z vodilnim koeficientom 1 imenujemo enični, ali včasih tudi monični. To je torej polinom oblike X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_1 X+a_0 in je n njegova stopnja.

Definicija: Minimalni polinom linearne preslikave \mathcal A:U\to U je enični polinom p najmanjše stopnje, za katerega je p(\mathcal A)=0. Analogno definiramo tudi minimalni polinom kvadratne matrike A\in M_n(\mathbb F).

Trditev: Minimalni polinom je dobro definiran, tj., en sam.

Definicija: Minimalni polinom linearne preslikave \mathcal A:U\to U označimo z m_\mathcal A. Podobno pišemo m_A za minimalni polinom matrike A.

Izrek: \lambda\in\mathbb F je lastna vrednost endomorfizma \mathcal A:U\to U natanko tedaj, ko je \lambda ničla polinoma m_{\mathcal A}, tj., m_{\mathcal A}(\lambda)=0.

Soroden izrek velja za kvadratno matriko A in njene lastne vrednosti.

Zgled: Naj bosta A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} in B=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} kvadratni matriki. Obe matriki imata isti lastni vrednosti: 1,2. Obe uniči polinom (X-1)(X-2)^2. Vendar pa je (B-I_3)(B-2 I_3)=0 \neq (A-I)(A-2 I_3). Sledi m_A=(X-1)(X-2)^2 in m_B=(X-1)(X-2).

IV.5. Karakteristični polinom

Za izračun lastnih vrednosti v praksi vpeljemo:

Definicija: Za matriko A\in M_n(\mathbb F) je karakteristični polinom (v spremenljivki \lambda) enak p_A=\det(A-\lambda I_n)\in\mathbb F[\lambda].

Zgled: Karakteristična polinoma matrik A,B iz zadnjega zgleda sta p_A=p_B=-(\lambda-1)(\lambda-2)^2. Za C=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -3 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & 1\end{bmatrix} je enak p_C=\det \begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 & 3 \\ -3 & -2-\lambda & -1 \\ 1 & 1-\lambda & 1-\lambda\end{bmatrix}=-\lambda^3-\lambda.

Izrek: \lambda\in\mathbb F je lastna vrednost matrike A\in M_n(\mathbb F) natanko tedaj, ko je \lambda ničla polinom p_A, tj., p_A(\lambda)=0.

S pomočjo tega izreka lahko preprosto izračunamo lastne vrednosti matrike (ali endomorfizma).

Zgled: Karakteristični polinom C=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -3 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & 1\end{bmatrix} je enak p_C=-\lambda^3-\lambda=-\lambda(\lambda+i)(\lambda -i). Torej so lastne vrednosti C enake 0,i,-i.

Zgled: Karakteristični polinom splošne 2\times 2 matrike A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d\end{bmatrix} je enak p_A=\lambda^2-\lambda (a+d) + (ad-bc)= \lambda^2- ({\rm sled\,}A) \lambda+\det A.

Trditev: Karakteristični polinom A\in M_n(\mathbb F) je oblike p_A=(-1)^n\lambda^n +(-1)^{n-1}({\rm sled\,}A)\lambda^{n-1}+\cdots+ \det A.

Zgled: Podobni matriki imata isti karakteristični polinom. Obrat ne velja: matriki A=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{bmatrix} in B=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} imata isti karakteristični polinom, pa si nista podobni.

Podobno kot smo to storili za kvadratne matrike, vpeljemo karakteristični polinom tudi za endomorfizem \mathcal A: p_{\mathcal A}=\det (\mathcal A-\lambda I_U). Ničle tega polinoma so natanko lastne vrednosti \mathcal A.

IV.6. Cayley-Hamiltonov izrek

Izrek (CayleyHamilton): Za vsak A\in M_n(\mathbb F) je p_A(A)=0.

Iz tega izreka sklepamo, da je p_A kandidat za minimalni polinom m_A matrike A.

Posledica: Minimalni polinom m_A matrike A deli karakteristični polinom p_A.

Zgled:

  1. Vrnimo se k matrikama A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} in B=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}. Potem je m_A=-p_A=-p_B\neq m_B= (X-1)(X-2).
  2. Za še preprostejši primer si oglejmo n\times n identično matriko I_n. Velja p_{I_n}=(-1)^n(\lambda-1)^n in m_{I_n}=X-1.

Matrika A je obrnljiva natanko tedaj, ko je konstantni koeficient njenega karakterističnega polinoma neničeln. Če je temu tako, lahko A^{-1} izračunamo s pomočjo p_A=(-1)^n\lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_1 \lambda+a_0.

Zgled: Inverz obrnljive 2\times 2 matrike A je enak A^{-1}=\frac {1}{\det A} \big( ({\rm sled\,}A) I_2-A\big).

Spomnimo se, da je geometrična kratnost lastne vrednosti \lambda matrike A dimenzija lastnega prostora \dim(A-\lambda I).

Definicija: Algebraična kratnost lastne vrednosti \lambda matrike A je kratnost ničle \lambda polinoma p_A.

IV.7. Diagonalizabilne linearne preslikave in matrike

Definicija: Endomorfizem \mathcal A:U\to U je diagonalizabilen, če obstaja takšna baza \mathcal B za U, da je matrika \mathcal A[\mathcal B,\mathcal B] diagonalna. Kvadratni matriki pravimo diagonalizabilna, če je podobna kakšni diagonalni matriki.

Zgled:

  1. Ni vsaka realna matrika podobna kakšni realni diagonalni matriki, npr. A=\begin{bmatrix} 0& 1 \\ -1 & 0\end{bmatrix} ni podobna nobeni realni diagonalni matriki. Je pa podobna B=\begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}.
  2. Ni vsaka matrika podobna kakšni diagonalni matriki, npr. A=\begin{bmatrix} 0& 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}.

Trditev: Endomorfizem \mathcal A:U\to U je diagonalizabilen natanko tedaj, ko obstaja baza \mathcal B za U sestavljena iz lastnih vektorjev \mathcal A.

Izrek: Endomorfizem \mathcal A:U\to U je diagonalizabilen natanko tedaj, ko ima minimalni polinom m_{\mathcal A} same različne ničle, tj., m_{\mathcal A}=(X-\lambda_1)\cdots (X-\lambda_r) in \lambda_i\neq \lambda_j za i\neq j

Posledica: Če ima matrika A\in M_n(\mathbb F) n različnih lastnih vrednosti, potem je diagonalizabilna.

Zgled: Obrat posledice očitno ne drži, kot nam pokaže npr. 2\times 2 identična matrika I_2.

This entry was posted in Linearna algebra (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s