Predavanje LA010.6: Sprememba baze. Podobnost matrik

Izrek:

  1. Naj bo A matrika prirejena preslikavi \mathcal A:U\to V glede na izbrani bazi prostorov U,V in \alpha\in\mathbb F. Tedaj je matrika prirejena preslikavi \alpha \mathcal A glede na isti bazi, enaka \alpha A.
  2. Naj bosta A, B matriki prirejeni preslikavama \mathcal A,\mathcal B:U\to V glede na izbrani bazi prostorov U,V. Potem je matrika prirejena preslikavi \mathcal A+\mathcal B glede na isti bazi, enaka A+B.
  3. Naj bosta A, B matriki prirejeni preslikavama \mathcal A:U\to V, \mathcal B:W\to U glede na izbrane baze prostorov U,V,W. Potem je matrika prirejena preslikavi \mathcal A\circ\mathcal B glede na iste baze, enaka AB.

III.3. Sprememba baze in podobne matrike

Naj bo \mathcal A:U\to V linearna preslikava, \mathcal B=\{u_1,\ldots, u_n\} baza za U in \mathcal C=\{v_1,\ldots,v_m\} baza za V. Za vektor u\in U bomo njegov razvoj po bazi \mathcal B označili z u[\mathcal B]. Torej, če je u=\sum_{i=1}^n \alpha_i u_i, potem je u[\mathcal B]=\begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n\end{bmatrix}. S pomočjo teh oznak lahko enakost v=\mathcal A(u) zapišemo kot v[\mathcal C]=\mathcal A[\mathcal C,\mathcal B] u[\mathcal B], glej npr. prejšnje predavanje.

Definicija: Naj bosta \mathcal B=\{u_1,\ldots, u_n\} in \mathcal C=\{v_1,\ldots,v_n\} bazi prostora U. Tedaj obstajajo p_{ij}\in\mathbb F, za katere velja v_j=\sum_{i=1}^n p_{ij}u_i za vse j. Matriko P[\mathcal B,\mathcal C]=\begin{bmatrix} p_{11} & \cdots & p_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ p_{n1} & \cdots & p_{nn}\end{bmatrix} imenujemo matrika prehoda iz baze \mathcal B do baze \mathcal C.

Izrek: Naj bo u\in U in \mathcal B=\{u_1,\ldots, u_n\}, \mathcal C=\{v_1,\ldots,v_n\} bazi prostora U. Potem velja:

  1. u[\mathcal B]=P[\mathcal B,\mathcal C] u[\mathcal C].
  2. Matrika P[\mathcal B,\mathcal C] je obrnljiva in P[\mathcal B,\mathcal C]^{-1}=P[\mathcal C,\mathcal B].

Naslednji rezultat nam pove, kako se spremeni matrika, če spremenimo baze vektorskih prostorov. Naj bo torej \mathcal A:U\to V linearna preslikava, \mathcal B,\mathcal B' bazi za U in \mathcal C,\mathcal C' bazi za V.

Izrek: \mathcal A[\mathcal C',\mathcal B']=P[\mathcal C',\mathcal C] \mathcal A[\mathcal C,\mathcal B] P[\mathcal B,\mathcal B'].

Posledica: Naj bo A:U\to U endomorfizem in \mathcal B,\mathcal C bazi za U. Tedaj velja \mathcal A[\mathcal B,\mathcal B]=P[\mathcal B,\mathcal C] \mathcal A[\mathcal C,\mathcal C] P[\mathcal C,\mathcal B]=P[\mathcal B,\mathcal C] \mathcal A[\mathcal C,\mathcal C] P[\mathcal B,\mathcal C]^{-1} .

Zgled: Poiščimo matriko, ki v standardni bazi prostora \mathbb R^3 pripada projektorju na ravnino x+y-z=0 vzdolž premice x=y=z. Naj bo \mathcal B=\{e_1,e_2,e_3\} standardna baza \mathbb R^3, za \mathcal C pa vzemimo vektorje \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix}. Pri tem prva dva vektorja ležita na podani ravnini (sta tudi linearno neodvisna), tretji pa je smerni vektor podane premice. Ker ta premica ne leži na ravnini, je \mathcal C baza \mathbb R^3.

Sedaj je \mathcal A[\mathcal C,\mathcal C]=\begin{bmatrix} 1& 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} in P[\mathcal B,\mathcal C]=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}. Sledi P[\mathcal C,\mathcal B]=P[\mathcal B,\mathcal C]^{-1}=\begin{bmatrix} -1 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix}. Iskana matrike je torej \mathcal A[\mathcal B,\mathcal B]= P[\mathcal B,\mathcal C] \mathcal A[\mathcal C,\mathcal C] P[\mathcal C,\mathcal B]= \begin{bmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 2 \end{bmatrix}. Pravilnost računa lahko preiskusimo tako, da preverimo, da ta matrika slika prva dva vektorja iz \mathcal C sama nase, zadnjega pa v ničelni vektor.

III.4. Ekvivalentne in podobne matrike

Definicija: Dve (ne nujno kvadratni) matriki enake velikosti A,B sta ekvivalentni, če obstajata obrnljivi matriki P,Q, za kateri velja A=PBQ.

Preprosto je videti, da nam ta predpis poda ekvivalenčno relacijo (tj., refleksivna, simetrična, tranzitivna relacija) na M_{m\times n}(\mathbb F) za vsaka m,n\in\mathbb N.

Izrek: Dve matriki A,B\in M_{m\times n}(\mathbb F) sta ekvivalentni natanko tedaj, ko pripadata isti linearni preslikavi \mathbb F^n\to\mathbb F^m (v morda različnih bazah).

Vsaki matriki lahko priredimo linearno preslikavo in obratno, vsaki preslikavi lahko priredimo matriko. Rang matrike je enak rangu linearne preslikave, ki ji pripada. V posebnem imata ekvivalentni matriki enak rang.

Izrek: Naj bo \mathcal A\in\mathcal L(U,V), kjer je \dim(U)=n in \dim(V)=m. Potem obstajata bazi za U,V, da je matrika A prirejena \mathcal A glede na ti bazi oblike A=\begin{bmatrix} I_r & 0_{r\times (n-r)} \\ 0_{(m-r)\times r} & 0_{(m-r)\times (n-r)} \end{bmatrix}, kjer je r={\rm rang} (\mathcal A).

Tukaj smo uporabili bločni zapis matrike A: I_r pomeni identično matriko velikosti r\times r, za naravni števili p,q pa 0_{p\times q} pomeni ničelno matriko velikosti p\times q.

Posledica: Vsaka matrika B\in M_{m\times n}(\mathbb F) je ekvivalentna matriki oblike \begin{bmatrix} I_r & 0_{r\times (n-r)} \\ 0_{(m-r)\times r} & 0_{(m-r)\times (n-r)} \end{bmatrix} za r={\rm rang} (B).

Posledica: Če imata matriki (enake velikosti) isti rang, sta ekvivalentni.

Povzetek: Dve matriki A,B\in M_{m\times n}(\mathbb F) sta ekvivalentni natanko tedaj, ko imata isti rang.

Definicija: Dve kvadratni matriki enake velikosti A,B sta si podobni, če obstaja obrnljiva matrika P, za katero velja A=P^{-1}BP.

Preprosto je videti, da nam ta predpis poda ekvivalenčno relacijo (tj., refleksivna, simetrična, tranzitivna relacija) na M_{n\times n}(\mathbb F) za vsak n\in\mathbb N.

Če sta si matriki podobni, potem sta tudi ekvivalentni, pri čemer obrat (tudi za kvadratne matrike) ne velja.

Izrek: Dve matriki A,B\in M_{n\times n}(\mathbb F) sta si podobni natanko tedaj, ko pripadata isti linearni preslikavi \mathbb F^n\to\mathbb F^n (v morda različni bazi za \mathbb F^n).

Tukaj velja poudariti, da imamo opravka z endomorfizmi. Torej pri prirejanju matrik uporabimo isto bazo na obeh straneh linearne preslikave (tj., na domeni in kodomeni).

III.5. Determinanta in sled linearne preslikave

Definicija: Naj bo \mathcal A endomorfizem U in A njemu prirejena matrika glede na neko bazo prostora U. Potem je determinanta preslikave \mathcal A, \det \mathcal A po definiciji enaka \det A.

Pri tem predpisu je treba premisliti dobro definiranost, saj lahko \mathcal A priredimo več različnih matrik, ki so odvisne od baze za U, ki jo izberemo. Ker pa sta si poljubni matriki A,B prirejeni \mathcal A podobni, obstaja obrnljiva matrika P (matrika prehoda med obema bazama!), da velja B=P^{-1}AP. Sledi \det B=\det (P^{-1} AP)=\det (P^{-1}) \det A \det P= (\det P)^{-1} \det A\det P=\det A, torej je \det\mathcal A res dobro definirana.

Zgled:

  1. Determinanta odvoda \mathcal A:\mathbb R[X]_{\leq 3}\to\mathbb R[X]_{\leq 3} je enaka 0. Na primer, matrika prirejena temu odvodu glede na standardno bazo, je strogo zgornje trikotna.
  2. Determinanta rotacije okrog izhodišča za kot \varphi, je enaka 1.

Trditev: Endomorfizem \mathcal A:U\to U je obrnljiv natanko tedaj, ko je \det\mathcal A\neq 0.

Podobno kot smo to napravili z determinanto, naredimo še za sled.

Spomnimo se, da je sled kvadratne matrike vsota njenih diagonalnih elementov. Torej, če je A=\begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{bmatrix}, potem je {\rm sled}\, A=a_{11}+\cdots+a_{nn}. Tako {\rm sled}:M_n(\mathbb F)\to\mathbb F postane linearna preslikava, njena glavna lastnost pa je {\rm sled}\,(AB)={\rm sled}\,(BA) za vse matrike A,B ustrezne velikosti.

Zgled: Morda velja omeniti, da v splošnem {\rm sled}\,(ABC)\neq {\rm sled}\,(ACB). Vzemimo npr. A=\begin{bmatrix} 0& 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} 1& 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix} 0& 1\\ 0 & 0 \end{bmatrix}. Potem je {\rm sled}\,(ABC)=1\neq 0={\rm sled}\,(ACB).

Definicija: Naj bo \mathcal A endomorfizem U in A njemu prirejena matrika glede na neko bazo prostora U. Potem je sled preslikave \mathcal A, {\rm sled}\, \mathcal A po definiciji enaka {\rm sled}\, A.

Dajmo spet premisliti dobro definiranost. Ker sta si poljubni matriki A,B prirejeni \mathcal A podobni, obstaja obrnljiva matrika P, da velja B=P^{-1}AP. Sledi {\rm sled}\, B={\rm sled}\, (P^{-1} AP)={\rm sled}\, (A PP^{-1})={\rm sled}\, A, torej je {\rm sled}\,\mathcal A res dobro definirana.

Zgled:

  1. Sled odvoda \mathcal A:\mathbb R[X]_{\leq 3}\to\mathbb R[X]_{\leq 3} je enaka 0. Na primer, matrika prirejena temu odvodu glede na standardno bazo, je strogo zgornje trikotna.
  2. Sled rotacije okrog izhodišča za kot \varphi, je enaka 2 \cos(\varphi).
This entry was posted in Linearna algebra (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

One Response to Predavanje LA010.6: Sprememba baze. Podobnost matrik

  1. Pingback: Predavanje LA010.8: Karakteristični polinom « igor's math Blog

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s