Predavanje LA010.4: Jedro in slika linearne preslikave. Prostor linearnih preslikav

II.2. Jedro in slika linearne preslikave

Definicija: Za linearno preslikavo \mathcal A:U\to V, množici \ker\mathcal A:=\{u\in U\mid \mathcal A(u)=0\} pravimo jedro preslikave \mathcal A.

Zgled:

  1. Jedro ničelne preslikave \mathcal A:U\to V, u\mapsto  0 je cel vektorski prostor U, t.j. \ker\mathcal A=U.
  2. Jedro identične preslikave \mathcal A:U\to U, u\mapsto u je trivialno: \ker\mathcal A=\{0\}.
  3. Za neničelni r\in\mathbb F in vsak \mathbb  F-vektorski prostor U ima preslikava \mathcal A:U\to U, u\mapsto r\cdot u tudi trivialno jedro.
  4. Za poljuben 0 \neq \vec n\in\mathbb R^3 je jedro preslikave \mathcal A:\mathbb R^3\to\mathbb R, \vec u\mapsto \vec  n\cdot\vec u ravnina skozi izhodišče, ki ima \vec n za normalni vektor. Pri tem \cdot označuje skalarni produkt dveh vektorjev.
  5. Za poljuben 0 \neq \vec a\in\mathbb R^3 je jedro preslikave \mathcal A:\mathbb R^3\to\mathbb R^3, \vec u\mapsto \vec  a\times\vec u enodimenzionalni vektorski prostor, ki ga napenja \vec a, \ker\mathcal A= Lin(\vec a). Tukaj smo z \times označili vektorski produkt dveh vektorjev.
  6. Vzemimo A\in M_{m\times n}(\mathbb R). Potem je \mathcal A_A:\mathbb R^n\to \mathbb R^m, u\mapsto Au linearna preslikava, katere jedro je množica rešitev linearnega sistema Ax=0. Torej je \ker\mathcal A_A=\{x\in\mathbb R^n\mid Ax=0\}.
  7. Odvajanje \mathcal A:\mathbb R[X]\to\mathbb R[X], p=a_0+\cdots+a_nX^n \mapsto p'=a_1+2 a_2 X+\cdots+na_nX^{n-1} je linearna preslikava, katere jedro je \ker\mathcal A=\{konstantni polinomi\}=\{a\in\mathbb R\}=\mathbb R[X]_{\leq 0}.
  8. Rotacija v ravnini okrog izhodišča za poljuben kot \varphi je linearna preslikava s trivialnim jedrom.

Spomnimo se: preslikavo \mathcal A:U\to V imenujemo injektivna, kadar iz \mathcal A(u_1)=\mathcal A(u_2) za neka u_1,u_2\in U sledi u_1=u_2.

Izrek: Linearna preslikava je injektivna tedaj in le tedaj, ko ima trivialno jedro.

Trditev: Linearna preslikava s trivialnim jedrom slika linearno neodvisne vektorje v linearno neodvisne vektorje.

Definicija: Naj bo \mathcal A:U\to V linearna preslikava. Tedaj množici {\rm im}\, \mathcal A:=\{v\in V\mid  \exists u\in U:\, \mathcal A(u)=v\} pravimo slika (ali tudi imidž) preslikave \mathcal A.

Trditev: Za vsako linearno preslikavo \mathcal A:U\to  V je {\rm im}\, \mathcal A\leq V.

Zgled:

  1. Imidž ničelne preslikave \mathcal A:U\to V je {\rm  im}\, \mathcal A=\{0\}.
  2. Imidž identične preslikave \mathcal I:U\to U je {\rm  im}\, \mathcal A=U.
  3. Za poljuben 0 \neq \vec a\in\mathbb R^3 je slika preslikave \mathcal A:\mathbb R^3\to\mathbb R, \vec u\mapsto \vec  a\times\vec u enaka {\rm im}\, \mathcal A=\mathbb R.
  4. Naj bo \mathcal A:\mathbb R[X]_{\leq n}\to \mathbb R[X]_{\leq  n} odvajanje, tj. \mathcal A(p)=p' za vsak p\in \mathbb  R[X]_{\leq n}. Potem je {\rm im}\, \mathcal A=\mathbb  R[X]_{\leq n-1}.
  5. Za odvajanje \mathcal A:\mathbb R[X]\to \mathbb R[X] je {\rm im}\, \mathcal A=\mathbb R[X].
  6. Vzemimo obrnljivo matriko A\in M_n(\mathbb R) in si oglejmo njej prirejeno linearno preslikavo \mathcal A_A:\mathbb  R^n\to\mathbb R^n, x\mapsto Ax. Velja {\rm im}\,  \mathcal A_A=\mathbb R^n.
  7. Splošneje, če je podana matrika A\in M_{m\times n}(\mathbb  R), potem za njej prirejeno linearno preslikavo \mathcal  A_A:\mathbb R^n\to\mathbb R^m velja {\rm im}\, \mathcal A_A= Lin(u_1,\ldots,u_n), kjer so u_1,\ldots, u_n stolpci matrike A.

Opomba: Preslikava \mathcal A:U\to V je surjektivna, če velja {\rm im}\, \mathcal A=V.

Izrek: Naj bo \mathcal A:U\to V linearna preslikava. Tedaj velja \dim U=\dim (\ker \mathcal A)+\dim({\rm im}\, \mathcal A).

Definicija: Za linearno preslikavo \mathcal A:U\to V imenujemo {\rm rang}(\mathcal A):=\dim({\rm im}\, \mathcal A) rang preslikave \mathcal A, n(\mathcal A):=\dim(\ker \mathcal  A) pa je ničelnost preslikave \mathcal A.

S temi novimi oznakami lahko zaključek izreka formuliramo kot \dim U={\rm rang}(\mathcal A)+n(\mathcal A).

II.3. Prostor linearnih preslikav

Definicija: Za vektorska prostora U,V z \mathcal L(U,V) označimo množico vseh linearnih prelikav U\to  V. V tej množici vpeljemo seštevanje in množenje s skalarji na sledeč način. Za \mathcal A,\mathcal B\in\mathcal L(U,V) in \alpha\in\mathbb F definiramo preslikavo \mathcal A+\mathcal  B:U\to V s predpisom (\mathcal A+\mathcal B)(u)=\mathcal  A(u)+\mathcal B(u) za u\in U. Analogno je (\alpha  \mathcal A)(u)=\alpha \mathcal A(u).

Zgled: Za poljuben 0 \neq \vec a\in\mathbb R^3 vpeljemo linearno preslikavo \mathcal A_{\vec a}:\mathbb R^3\to\mathbb R, \vec u\mapsto \vec a\cdot\vec u. Velja \mathcal A_{\vec  a}+\mathcal A_{\vec b}=\mathcal A_{\vec a+\vec b} in \alpha  \mathcal A_{\vec a}=\mathcal A_{\alpha \vec a} za vse \alpha\in\mathbb R in \vec a,\vec b\in\mathbb R^3.

Trditev: \mathcal L(U,V) je vektorski prostor.

Definicija: Na običajen način vpeljimo kompozitum (komponiranje) linearnih preslikav. Za \mathcal A\in\mathcal  L(U,V) in \mathcal B\in\mathcal L(V,W) je \mathcal  B\circ\mathcal A\in\mathcal L(U,W) tista linearna preslikava, ki pošlje u\in U v \mathcal B(\mathcal A(u)).

Zgled: Matriki A\in M_{n}(\mathbb R) priredimo linearno preslikavo \mathcal A_A:\mathbb R^n\to \mathbb R^n, u\mapsto Au. Potem je \mathcal A_A\circ\mathcal A_B=\mathcal A_{AB}, če je B\in M_{n}(\mathbb R).

Izrek: \mathcal L(U,U) je algebra z enoto. Če je \dim U>1, potem je nekomutativna.

To pomeni, da je \mathcal L(U,U) vektorski prostor, ki ima dodatno notranjo operacijo (komponiranje), za katerega velja

  1. asociativnost: \mathcal A\circ(\mathcal B\circ\mathcal  C)=(\mathcal A\circ\mathcal B)\circ\mathcal C;
  2. desna distributivnost: \mathcal A\circ(\mathcal  B+\mathcal C)=\mathcal A\circ\mathcal B+\mathcal A\circ\mathcal C;
  3. leva distributivnost: (\mathcal A+\mathcal  B)\circ\mathcal C=\mathcal A\circ\mathcal C+\mathcal B\circ\mathcal C;
  4. \alpha(\mathcal A\circ \mathcal B)=(\alpha\mathcal A)\circ  \mathcal B=\mathcal A\circ (\alpha\mathcal B)
  5. obstoj enote: obstaja \mathcal I\in\mathcal  L(U,U), ki je nevtralen element za komponiranje, tj., \mathcal  I\circ\mathcal A=\mathcal A\circ\mathcal I=\mathcal A

za vse \alpha\in\mathbb F, \mathcal A,\mathcal  B,\mathcal C\in\mathcal L(U,U).

Algebro imenujemo nekomutativna, če obstajata elementa \mathcal A,\mathcal B, za katera je \mathcal A\circ\mathcal B  \neq \mathcal B\circ\mathcal A.

Definicija: \mathcal L(U,U) imenujemo algebra endomorfizmov vektorskega prostora U, njene elemente pa endomorfizme U.

This entry was posted in Linearna algebra (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

One Response to Predavanje LA010.4: Jedro in slika linearne preslikave. Prostor linearnih preslikav

  1. Pingback: Predavanje LA010.6: Sprememba baze. Podobnost matrik « igor's math Blog

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s