Predavanje LA010.3: Linearne preslikave

Poglavje II: Linearne preslikave

II.1. Definicija in osnovne lastnosti

Preslikava med dvema vektorskima prostoroma \mathcal A:U\to V je linearna, če velja

  1. \mathcal A(u+w)=\mathcal A(u)+\mathcal A(w) za vse u,w\in U; (aditivnost)
  2. \mathcal A(\alpha u)=\alpha\mathcal A(u) za vse u\in U in \alpha\in\mathbb F. (homogenost)

Pogoja lahko združimo v enega samega:

  • \mathcal A(\alpha u+\beta w)=\alpha \mathcal A(u)+\beta \mathcal A(w) za vse u,w\in U in \alpha,\beta\in\mathbb F.

Zgled:

  1. Ničelna preslikava \mathcal A:U\to V, u\mapsto 0 je očitno linearna.
  2. Identična preslikava \mathcal A:U\to U, u\mapsto u je tudi linearna.
  3. Preslikava \varphi:\mathbb R\to\mathbb R, x\mapsto 2x-1 ni linearna. Ni niti aditivna niti homogena.
  4. Za vsak r\in\mathbb F in vsak \mathbb F-vektorski prostor U je preslikava \mathcal A:U\to U, u\mapsto r\cdot u linearna.
  5. Za poljuben \vec a\in\mathbb R^3 je preslikava \mathcal A:\mathbb R^3\to\mathbb R, \vec u\mapsto \vec a\cdot\vec u linearna.
  6. Za poljuben \vec a\in\mathbb R^3 je preslikava \mathcal A:\mathbb R^3\to\mathbb R^3, \vec u\mapsto \vec a\times\vec u linearna.
  7. Naj bosta n,m\in\mathbb N in m\geq n. Potem je \mathcal A:\mathbb R^m\to \mathbb R^n, \left[\begin{smallmatrix} x_1\\ \vdots \\ x_n \\ x_{n+1} \\ \vdots \\ x_n \end{smallmatrix}\right] \mapsto \left[\begin{smallmatrix} x_1\\ \vdots \\ x_n\end{smallmatrix}\right] linearna. Če je m<n, potem je \mathcal A:\mathbb R^m\to \mathbb R^n, podana z \left[\begin{smallmatrix} x_1\\ \vdots \\ x_m \end{smallmatrix}\right] \mapsto \left[\begin{smallmatrix} x_1\\ \vdots \\ x_m \\ 0 \\ \vdots\\ 0\end{smallmatrix}\right] linearna.
  8. Vzemimo A\in M_{m\times n}(\mathbb R). Potem je \mathcal A_A:\mathbb R^n\to \mathbb R^m, u\mapsto Au linearna preslikava.
  9. Za poljubno matriko A\in M_{m\times n}(\mathbb R) je preslikava \mathcal A:M_{n\times r}(\mathbb R) \to M_{m\times r}(\mathbb R), B\mapsto AB linearna.
  10. Preslikava \mathcal A:\mathbb C\to\mathbb C, z\mapsto \bar z ni \mathbb C-linearna, je pa \mathbb R-linearna.

Trditev: Naj bo \mathcal A:U\to V linearna preslikava. Tedaj:

  1. \mathcal A(0)=0;
  2. za vse u\in U velja \mathcal A(-u)=-\mathcal A(u);
  3. za vse \alpha_1,\ldots ,\alpha_n\in\mathbb F in vse u_1,\ldots, u_n\in U je \mathcal A(\alpha_1 u_1+\cdots + \alpha_n u_n)= \alpha_1 \mathcal A(u_1)+ \cdots + \alpha_n \mathcal A(u_n).

Izrek: Linearna preslikava je določena z vrednostmi na bazi. Natančneje: če je \{u_1,\ldots,u_n\} baza za vektorski prostor U, potem za poljubno n-terico vektorjev v_1,\ldots,v_n\in V obstaja natanko ena linearna preslikava \mathcal A:U\to V, za katero je \mathcal A(u_i)=v_i za i=1,\ldots,n.

Zgled: Linearna preslikava \mathcal A:\mathbb R^2\to\mathbb R^2, ki je podana z (1,0)\mapsto (-1,0) in (0,1)\mapsto (0,1), je zrcaljenje preko y-osi. Velja \mathcal A ( (x,y))=(-x,y). Hkrati lahko \mathcal A predstavimo kot množenje vektorjev \mathbb R^2 z matriko \begin{bmatrix} -1& 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.

This entry was posted in Linearna algebra (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s