Predavanje LA010.2: Baza, direktne vsote

Definicija: Množica vektorjev \{v_1,\ldots, v_n\}\subseteq V je baza vektorskega prostora V, če

  1. Lin(v_1,\ldots,v_n)=V.
  2. vektorji v_1,\ldots, v_n so linearno neodvisni.

Zgled:

  1. \{1,X,X^2,\ldots,X^n\} je baza \mathbb R[X]_{\leq n}.
  2. \{1,i\} je baza \mathbb R-vektorskega prostora \mathbb C.
  3. \{1\} je baza \mathbb C-vektorskega prostora \mathbb C.
  4. Poljubna linearno neodvisna vektorja v ravnini \mathbb R^2 tvorita bazo. Poljubni trije linearno neodvisni vektorji v prostoru \mathbb R^3 tvorijo bazo.

Izrek: Naj bo \{v_1,\ldots, v_n\} baza vektorskega prostora V. Potem za vsak v\in V obstajajo enolično določeni skalarji a_1,\ldots,a_n\in\mathbb F, za katere velja v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n. (Razvoj po bazi je enoličen.)

I.4. Dimenzija vektorskega prostora

Vektorski prostor, ki ima kakšno končno ogrodje, imenujemo končno-dimenzionalen (ali tudi končno-razsežen). Vsak končno-dimenzionalen vektorski prostor premore končno bazo.

Zgled:

  1. \mathbb R^n, M_{n\times r}(\mathbb R) so končno-dimenzionalni.
  2. \mathbb R[X]_{\leq n} je končno-dimenzionalen.
  3. \mathbb R[X] ni končno-dimenzionalen.

Lema: Naj bo V končno-dimenzionalen, \{v_1,\ldots, v_n\} baza za V in w_1,\ldots, w_m poljubni vektorji iz V. Če je m>n, potem so vektorji w_1,\ldots, w_m linearno odvisni.

Izrek: Naj bo V končno-dimenzionalen vektorski prostor. Potem imajo vse njegove baze enako število elementov. Rečemo ji dimenzija vektorskega prostora V in pišemo dim(V).

Trditev: Vsaka maksimalna linearno neodvisna množica vektorskega prostora V je baza.

Izrek: Naj bo V končno-dimenzionalen vektorski prostor z n=\dim(V) in \{v_1,\ldots,v_m\}\subseteq V linearno neodvisni vektorji z m<n. Potem obstajajo takšni v_{m+1},\ldots, v_n\in V, da je \{v_1,\ldots,v_m,v_{m+1},\ldots,v_n\} baza za V.

Zgled:

  1. Vsak neničeln v\in\mathbb R^2 lahko dopolnimo do baze \{v,u\} (npr. tako, da vzamemo za u\in\mathbb R^2 poljuben vektor, ki ne leži na isti premici kot v).
  2. Poljubna linearno neodvisna vektorja u,v\in\mathbb R^3 lahko dopolnimo do baze \mathbb R^3.

I.5. Vsote in direktne vsote vektorskih prostorov

Kot smo videli v prejšnjem predavanju, je presek vektorskih podprostorov tudi sam vektorski podprostor. Za unijo to ne velja.

Zgled: Naj bo V=\mathbb R^2, U=\mathbb R\times\{0\}=\{ (x,y)\in V \mid y=0\} in W=\{0\}\times\mathbb R=\{ (x,y)\in V \mid x=0\}. Potem je U\cup W=\{(x,y)\in V\mid x=0 \text{ ali } y=0\}. Vendar ta množica očitno ni zaprta za seštevanje (npr. (1,0)+(0,1)=(1,1)\not\in U\cup W, čeprav  (1,0)\in U\subseteq U\cup W in  (0,1)\in V\subseteq U\cup W), zato U\cup W ni vektorski podprostor v V.

Temu problemu se izognemu z vpeljavo vsote vektorskih prostorov.

Definicija: Za vektorska podprostora U,W\leq V je
U+W=\{u+w\mid u\in U,\, w\in W\} vsota vektorskih podprostorov U,W.

Trditev: Za U,W\leq V je U+W\leq V. Z besedami: vsota vektorskih podprostorov je tudi sam vektorski podprostor. Velja celo: Lin(U\cup W) = U+W.

Definicija: Naj bo V=U+W. Če lahko vsak v\in V zapišemo enolično kot u+w za neka u\in U in w\in W, potem rečemo, da je V direktna vsota U in W in pišemo V=U\oplus W.

Izrek: Za U,W\leq V je V=U\oplus W tedaj in le tedaj, ko je V=U+W in je U\cap W=\{0\}.

Zgled:

  1. Naj bo V=\mathbb R^2, U=\mathbb R\times\{0\}=\{ (x,y)\in V \mid y=0\} in W=\{0\}\times\mathbb R=\{ (x,y)\in V \mid x=0\}. Potem je U\cap W=\{0\} in U+W=V, saj lahko vsak vektor (x,y)\in\mathbb R^2 zapišemo kot (x,y)=(x,0)+(0,y)\in U+W. Torej je \mathbb R^2=V=U\oplus W.
  2. Naj bo V=\mathbb R[X]_{\leq 4} in U=\mathbb R[X]_{\leq 1}. Potem za V= Lin(\{X^2,X^3,X^4\}) velja V=U\oplus W.

Izrek: Naj bo V vektorski prostor in U\leq V. Potem obstaja W\leq V, za katerega velja V=U\oplus W.

Izrek (dimenzijska enakost): Za U,W\leq V velja \dim(U+W)+\dim(U\cap W)=\dim(U)+\dim(W).

Posledica: Za V=U\oplus W velja \dim(V)=\dim(U\oplus W)=\dim(U)+\dim(W).

Posledica: Za U\leq V velja \dim(U)\leq\dim(V).

This entry was posted in Linearna algebra (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s