Predavanje LA010.1: Vektorski prostori in podprostori

Poglavje I: Vektorski prostori

Naj bo \mathbb F\in\{\mathbb R,\mathbb C\}.

Neprazni množici V, ki je opremljena z operacijama

  • +: V\times V\to V;
  • \cdot: \mathbb F\times V\to V,

ki zadoščata pogojem

  1. asociativnost: x+(y+ z)=(x+y)+z za vse x,y,z\in V;
  2. komutativnost: x+y=y+x za vse x,y\in V;
  3. obstoj nevtralnega elementa (enote) 0, ki zadošča x+0=0+x=x za vsak x\in V;
  4. obstoj obratnega elementa: za vsak x\in V obstaja -x\in V za katerega velja x+(- x)=(-x)+x=0;
  5. (a+b)\cdot v=a\cdot v+b\cdot v in a\cdot (v+w)=a  \cdot v+a\cdot w) za vse a,b\in\mathbb F in v,w\in V;
  6. a\cdot(b\cdot v)=(a\cdot b)\cdot v za vse a\in\mathbb  F in v\in V;
  7. 1\cdot v=v za vse v,w\in V,

pravimo vektorski prostor (nad \mathbb F).  Elemente množice V imenujemo vektorje, elementi \mathbb F pa so skalarji. Nevtralni element 0 vektorskega prostora (V,+,\cdot) imenujemo ničelni vektor.

Osnovni zgledi vektorskih prostorov:

  1. \mathbb R, \mathbb R^2, \mathbb R^3, \mathbb R^n so vektorski prostori nad \mathbb R;
  2. M_{n\times r}(\mathbb R), M_{n}(\mathbb R) so tudi vektorski prostori nad $\mathbb R;
  3. \mathbb C je vektorski prostor nad \mathbb R;
  4. \mathbb C je vektorski prostor nad \mathbb C;
  5. V=\{0\} je vektorski prostor nad \mathbb F;
  6. Množica \mathbb R[X] vseh realnih polinomov je vektorski prostor nad \mathbb R;
  7. Množica \mathbb R[X]_{\leq d} vseh realnih polinomov stopnje kvečjemu d je vektorski prostor nad \mathbb R.

Povedali smo tudi, da je produkt \alpha\cdot v skalarja \alpha\in\mathbb F in vektorja v\in V enak 0 natanko tedaj, ko je \alpha=0 ali v=0.

Neprazna podmnožica W vektorskega prostora V je vektorski podprostor (oznaka: W\leq V), če je zaprta za seštevanje in množenje s skalarji:

  1. za vse x,y\in W je x+y\in W;
  2. za vse \alpha\in\mathbb F in x\in W je \alpha\cdot x\in W.

Vsak vektorski podprostor kakšnega vektorskega prostora je tudi sam vektorski prostor. Hkrati je presek vektorskih podprostorov tudi vektorski podprostor.

Zgledi vektorskih podprostorov:

  1. W=\{(x_1,x_2)\in\mathbb R^2\mid x_1=0\}  je vektorski podprostor V=\mathbb R^2; podobno je =\{(x_1,x_2)\in\mathbb R^2\mid x_1+x_2=0\}\leq V; po drugi strani pa Z=\{(x_1,x_2)\in\mathbb R^2\mid x_1=1\} ni vektorski podprostor V, saj npr. ni zaprta za seštevanje;
  2. \mathbb R[X]_{\leq d}\leq \mathbb R[X]; množica \mathbb R[X]_{=d} vseh realnih polinomov stopnje enake d ni vektorski podprostor \mathbb R[X].

I.3. Linearna (ne)odvisnost. Baza vektorskega prostora

Naj bo V vektorski prostor nad \mathbb F in v_1,\ldots, v_n\in V. Za skalarje a_1,\ldots,a_n\in\mathbb F pravimo izrazu oblike a_1v_1+\cdots+a_nv_n linearna kombinacija vektorjev v_1,\ldots, v_n\in V. Skalarji a_1,\ldots, a_n so pri tem koeficienti te linearne kombinacije. Množico vseh možnih linearnih kombinacij vektorjev v_1,\ldots,  v_n imenujemo linearna ogrinjača (ali tudi linearna lupina) in označimo
Lin(v_1,\ldots, v_n).

Trditev: Lin(v_1,\ldots, v_n)\leq V. Velja celo več: Lin(v_1,\ldots, v_n) je najmanjši vektorski podprostor v V, ki vsebuje vektorje v_1,\ldots, v_n.

Zaradi te trditve Lin(v_1,\ldots, v_n) imenujemo vektorski podprostor, ki ga generirajo v_1,\ldots, v_n. Hkrati te vektorje imenujemo ogrodje Lin(v_1,\ldots, v_n).

Zgled:

  1. V \mathbb R^2 za poljubna vektorja u,v, ki ne ležita na isti premici, velja Lin(u,v)= \mathbb R^2. Če sta u in v kolinearna (=ležita na isti premici) in neničelna, potem je Lin(u,v)= Lin(u)= Lin(v).
  2. Podobno je linearna ogrinjača treh vektorjev v \mathbb R^3, ki ne ležijo v isti ravnini, cel prostor \mathbb R^3.

Definicija: Vektorji v_1,\ldots, v_n\in V so linearno odvisni, če obstajajo skalarji a_1,\ldots, a_n\in\mathbb F, ki niso vsi enaki 0, za katere velja a_1v_1+\cdots+a_nv_n=0. V nasprotnem primeru so vektorji v_1,\ldots, v_n linearno neodvisni. Ekvivalentno: noben od v_i ni linearna kombinacija vseh ostalih v_j.

Opazimo, da je vsaka množica vektorjev, ki vsebuje 0, linearno odvisna.

Zgled:

  1. Vektorja \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix},  \begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\in\mathbb R^2 sta linearno neodvisna.
  2. Matrike \begin{bmatrix}0&1\\ 0&0\end{bmatrix},  \begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0&0\\  0&1\end{bmatrix}\in M_2(\mathbb R) so linearno neodvisne.
  3. Vektorji \begin{bmatrix}1\\-1\\1 \end{bmatrix},  \begin{bmatrix}-1\\-1\\ 0 \end{bmatrix},  \begin{bmatrix}0\\4\\-2\end{bmatrix}\in\mathbb R^3 so linearno odvisni.
This entry was posted in Linearna algebra (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

One Response to Predavanje LA010.1: Vektorski prostori in podprostori

  1. Pingback: Predavanje LA010.2: Baza, direktne vsote « igor's math Blog

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s