Domača naloga KomAlg.4

1. Naj bosta A\subseteq B kolobarja, pri čemer je B celosten nad A. Dokaži: če je x\in A enota v B, potem je enota tudi v A.

2. Naj bosta A\subseteq B kolobarja in predpostavimo, da je množica B\setminus A zaprta za množenje. Pokaži, da je A celostno zaprt v B.

3. Naj bo M modul nad A in \varphi:M\to M homomorfizem modulov. Dokaži:

  • če je M noetherski in \varphi surjektiven, potem je \varphi izomorfizem;
  • če je M artinski in \varphi injektiven, potem je \varphi izomorfizem.

4. Naj bo k polje in A algebra nad k z \dim_k A<\infty. Pokaži, da je A noetherski in artinski kolobar.

5. Naj bo X neskončen kompakten Hausdorffov topološki prostor in C(X) kolobar vseh realnih zveznih funkcij na X.

  • Ali je C(X) noetherski?
  • Ali ima ničelni ideal (0) v C(X) primarni razcep?

6. Podana je (ne nujno končna) množica polinomov f_\lambda\in\mathbb C[X_1,\ldots,X_n] (\lambda\in\Lambda) v večih spremenljivkah. Naj bo Z=\{ a\in\mathbb C^n \mid f_\lambda(a)=0 za vse \lambda\in\Lambda\} njihova skupna množica ničel. Pokaži, da obstaja končna podmnožica \Lambda_0\subseteq\Lambda, da velja Z=\{ a\in\mathbb C^n \mid f_\lambda(a)=0 za vse \lambda\in\Lambda_0\}.

rok oddaje: ponedeljek, 1. marec 2010 ob 11:30.

This entry was posted in Komutativna algebra (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s