Predavanje MatR.11: Struktura rešitev linearnega sistema

III.5. Struktura rešitev linearnega sistema

Definicija: Linearni sistem oblike Ax=0 imenujemo homogen. Rešitev x=0 se imenuje trivialna rešitev.

Izrek: Naj bo A\in M_{m\times n}(\mathbb R). Množica rešitev homogenega linearnega sistema Ax=0 tvori vektorski podprostor v \mathbb R^n dimenzije n-rang(A).

Definicija: Izbrana rešitev x_p linearnega sistema Ax=b se imenuje partikularna rešitev.

Izrek: Naj ima linearni sistem Ax=b partikularno rešitev x_p in naj bo V množica rešitev homogenega sistema Ax=0. Potem je množica vseh rešitev sistema Ax=b enaka x_p+V=\{x_p+x_h \mid x_h\in V\}.

Opomba: Če je rang(A)=k in je \{v_1,\ldots,v_{n-k}\} baza za V, potem je množica vseh rešitev sistema Ax=b sestavljena iz vseh vektorjev oblike x=x_p+ \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_{n-k} v_{n-k}, kjer so \lambda_i\in\mathbb R.

III.6. Inverzne matrike (ponovno)

Izrek: Za matriko A\in M_n(\mathbb R) so naslednje trditve ekvivalentne:

  1. A je obrnljiva;
  2. linearni sistem Ax=b je enolično rešljiv za vsak b\in\mathbb R^n;
  3. rang(A)=n;
  4. VKF matrike A je identična matrika I.
This entry was posted in Matrični račun (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s