Predavanje MatR.10: Rang matrike

III.3. Rang matrike

Definicija: Rang matrike A\in M_{m\times n}(\mathbb R) je dimenzija prostora Lin(A_{(1)},\ldots,A_{(m)}). Oznaka: rang(A).

Rang matrike je torej stevilo linearno neodvisnih vrstic matrike A. Podobno bi lahko definirali tudi stolpcni rang matrike. V nadaljevanju bomo videli, da sta oba enaka.

Vpeljimo elementarne stolpcne operacije:

  1. i-ti stolpec matrike pomnozimo z nenicelnim skalarjem;
  2. i-ti stolpec matrike pomnozenega z nenicelnim skalarjem pristejemo j-temu stolpcu;
  3. zamenjamo i-ti in j-ti stolpec.

Izrek: Elementarne vrsticne in stolpcne operacije ne spremenijo ranga.

Izrek: Naj bo A\in M_{m\times n}(\mathbb R) matrika z rangom r. Potem lahko A z zaporedjem elementarnih vrsticnih in stolpcnih operacij preoblikujemo v obliko \begin{bmatrix} I_k & 0_{k\times(n-k)} \\ 0_{(m-k)\times k} & 0_{(m-k)\times (n-k)}\end{bmatrix}. V posebnem je vrsticni rang enam stoplcnemu rangu.

Posledica: Rang matrike A je enak stevilu nenicelnih vrstic VKF matrike A.

Opomba: rang(A)= rang(A^T). rang(I_n)=n.

Posledica: Vektorji v_1,\ldots,v_m\in\mathbb R^n so linearno neodvisni natanko tedaj, ko ima matrika A, katere i-ta vrstica ja ravno v_i, rang m.

Kako izracunamo dimenzijo prostora V= Lin(v_1,\ldots,v_m)\subseteq\mathbb R^n? Kako poiscemo bazo?

  • vektorje v_i zapisemo v vrstice matrike A;
  • rang(A)=k je enak dimenziji V;
  • VKF B matrike A ima k nenicelnih vrstic, npr. B=\begin{bmatrix} B_{(1)} \\ \vdots \\ B_{(k)} \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}. Ker elementarne vrsticne operacije ne spremenijo podprostora V, velja V= Lin(B_{(1)},\ldots,B_{(k)}) in B_{(1)},\ldots,B_{(k)} je primer baze podprostora V.

III.4. Gauss-Jordanova eliminacija

Spomnimo se, kako resujemo linearni sistem Ax=b. Zapisemo razsirjeno matriko sistema \begin{bmatrix} A & | & b\end{bmatrix} in poiscemo njeno VKF \begin{bmatrix} A' & | & b'\end{bmatrix}. Na koncu le se preberemo resitev linearnega sistema A'x=b'.

Primer: Naj bo podana ze kar VKF \begin{bmatrix} A' & | & b'\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 3 & 0 & | & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & | & -2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 1\end{bmatrix}. Nas sistem je torej \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3\\ x_4\\ x_5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 \\ -2 \\ 1\end{bmatrix}.

Glavne spremenljivke so tiste, ki pripadajo pivotom. Vrednosti spremenljivk, ki pripadajo stolpcem brez pivotov so proste.

V nasem primeru so glavne spremenljivke x_1,x_3,x_5, prosti pa sta x_2,x_4. Tako je mnozica resitev sistema enaka \mathcal R=\{ (3+x_2-3x_4,x_2,-2-2x_4,x_4,1)\mid x_2,x_4\in\mathbb R\} = \{ (3,0,-2,0,1) + x_2 (1,1,0,0,0)+x_4(-3,0,-2,1,0)\mid x_2,x_4\in\mathbb R\}. Dani sistem ima dvo-parametricno druzino resitev. Hkrati vidimo rang(A)=3= rang\begin{bmatrix} A & | & b\end{bmatrix}= stevilo glavnih spremenljivk. 5- rang(A)=5-3=2= stevilo prostih spremenljivk.

Ce v matriki A zamenjamo dva stolpca, se linearni sistem spremeni tako, da se zamenjajo spremenljivke.

Izrek: Naj bo A\in M_{m\times n}(\mathbb R) in b\in\mathbb R^m. Linearni sistem Ax=b je resljiv natanko tedaj, ko je rang(A)= rang\begin{bmatrix} A & | & b\end{bmatrix}. Ce je ta rang enak n, je sistem enolicno resljiv. Ce je rank enak k, ima sistem (n-k)-parametricno druzino resitev.

This entry was posted in Matrični račun (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s