Predavanje MatR.8: Obrnljive matrike. Linearni sistemi

II.4. Obrnljive matrike

Za vsako neničelno realno stevilo a obstaja b, da je ab=1. Pri matrikah kaj podobnega ne velja.

Definicija: Naj bo A\in M_n(\mathbb R). Tedaj matriko B\in M_n(\mathbb R), za katero velja AB=BA=I imenujemo inverz matrike A. Rečemo tudi, da je A obrnljiva ali nesingularna.

Trditev: Če inverz matrike A obstaja, je le-ta enoličen. Označimo ga z A^{-1}.

Izrek: Ce za A,B\in M_n(\mathbb R) velja AB=I, potem je tudi BA=I.

Trditev: Matriki A,B sta obrnljivi natanko tedaj, ko je AB obrnljiva. Velja (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.

Kdaj je matrika obrnljiva? Kako izračunamo njen inverz?

Trditev: Matrika A=\begin{bmatrix} a & b\\ c& d\end{bmatrix} je obrnljiva natanko tedaj, ko je \det(A)=ad-bc\neq 0 in potem velja A^{-1}=\frac 1{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b\\ -c & a\end{bmatrix}.

Izrek: Za matriko A=\begin{bmatrix} a & b\\ c& d\end{bmatrix} so naslednje trditve ekvivalentne:

  1. A je obrnljiva;
  2. \det(A)\neq 0;
  3. vektorja A^{(1)} in A^{(2)} sta linearno neodvisna;
  4. vektorja A_{(1)} in A_{(2)} sta linearno neodvisna;
  5. \det(A^T)\neq 0;
  6. A^T je obrnljiva;
  7. enačba Ax=b, b\in\mathbb R^2 ima enolično rešitev v \mathbb R^2 za vsak $b$.

Zgled:

  1. A=\begin{bmatrix} 3 & -7 \\ -2 & 5\end{bmatrix} je obrnljiva in njen inverz je A^{-1}=\begin{bmatrix} 5 & 7 \\ 2 & 3\end{bmatrix}.
  2. A=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1\end{bmatrix} ni obrnljiva.
  3. Rotacija R_\varphi za kot \varphi je obrnljiva matrika in njen inverz je R_\varphi^{-1}=R_{-\varphi}.

III. SISTEMI LINEARNIH ENACB

III.1. Definicija in uvodni primeri

Linearna enačba z n neznankami x_1,\ldots,x_n je enačba oblike a_1 x_1+\cdots+a_n x_n=b, kjer so a_1,\ldots,a_n,b\in\mathbb R dana realna števila. Rešitev takšne enačbe je vsak vektor (točka) s\in \mathbb R^n, ki zadošča a_1s_1+\cdots+a_ns_n=b. Množica vseh rešitev je \mathcal R=\{ s=(s_1,\ldots,s_n)\in\mathbb R^n \mid a_1s_1+\cdots+a_ns_n=b\}.

Zgled: Rešitev enačbe 6x_1+3x_2-x_3=4 je \Sigma=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid 6x+3y-z=4 in geometrijsko predstavlja ravnino v \mathbb R^3.

Sistem m linearnih enačb z n neznankami x_1,\ldots,x_n je družina linearnih enačb

\begin{array}{rcl} a_{11} x_1+\cdots+a_{1n} x_n&=&b_1 \\ a_{21} x_1+\cdots+a_{2n} x_n&=&b_2 \\ \vdots \\ a_{m1} x_1+\cdots+a_{mn} x_n&=&b_m\end{array}.

Rešitev linearnega sistema je vsak vektor s\in\mathbb R^n, ki reši vsako izmed teh linearnih enačb. Če je \mathcal R_i rešitev i-te enačbe sistema, potem je množica rešitev sistema enaka \mathcal R=\mathcal R_1\bigcap \cdots \bigcap \mathcal R_m\subseteq\mathbb R^n. Če je \mathcal R\neq\varnothing, rečemo, da je sistem konsistenten (rešljiv). Sicer je sistem nerešljiv (nekonsistenten; protisloven).

Vedno nastopi natanko ena od naslednjih treh možnosti:

  1. sistem je enolično rešljiv;
  2. sistem je rešljiv in ima neskončno mnogo rešitev;
  3. sistem je protisloven.

Kako rešujemo linearne sisteme? Kakšna je struktura rešitev? Kje se vse to uporablja?

Zgled: Kaj je presek treh ravnin \begin{array}{rcl} 3x_1+x_2-x_3&=&8 \\ x_1-x_2+x_3&=&4 \\ x_1+x_2-x_3&=&2\end{array}?

This entry was posted in Matrični račun (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s