Predavanje MatR.7: Posebne vrste matrik. Uporaba matrik

Nekaj posebnih tipov matrik:

  • matrične enote so E_{ij}, ki imajo na (i,j)-tem mestu 1, drugod pa 0;
  • diagonalna matrika D je takšna matrika, za katero je d_{ij}=0 za i\neq j;
  • zgornjetrikotne matrike so takšne matrike A, da velja a_{ij}=0 za i>j;
  • strogo zgornjetrikotne matrike so matrike A, za katere velja a_{ij}=0 za i\geq j;
  • skalarna matrika je matrika oblike \lambda I za nek \lambda\in\mathbb R;
  • idempotentna matrika je A, če zadošča A^2:=AA=A;
  • nilpotentna matrika je A, če za nek n\in\mathbb N velja A^n=0.
  • simetrična matrika je takšna matrika A, da je A^T=A;
  • poševno-simetrična matrika je takšna matrika A, da je A^T=-A.

Trditev: Vsaka kvadratna matrika se da zapisati kot vsota simetrične in poševno-simetrične matrike.

II.3. Dve uporabi matrik

Kodiranje (enkripcija)

Vsaki črki (A,B,…,Z) in piki (.), vejici (,), presledku (\textvisiblespace), vprašaju (?) določimo natanko eno število med 0 in 28. Hkrati si predpišemo tudi matriko, npr. velikosti 3x3. Kot primer vzemimo C=\begin{bmatrix} 13 & 7 & 20 \\ 3 & 0 & 6 \\ 6 & 20 & 25\end{bmatrix}.

Vsako zaporedje treh črk si s pomočjo zgornjega predpisa številk predstavimo kot vektor. Tako npr. iz krt tvorimo vektor v=(11,17,20). Ta vektor pomnožimo z matriko C: Cv=(662, 153, 906) in si ogledamo ostanek posamičnih elementov tega vektorja pri deljenju z 29. Dobimo vektor (24,8,7), ki nam glede na gornji predpis številk predstavlja besedo žhg.

Sporočilo sedaj zakodiramo po kosih treh črk. Sogovorcu lahko varno sporočimo zakodirano besedilo namesto originala. Če bo poznal C, si bo (če bo dovolj brihten) znal sam izračunati originalno sporočilo.

Nagradno vprašanje: Kaj smo zakodirali, če je dobljena koda zkh?

Rotacije v ravnini

Naj bo \mathcal R:\mathbb R^2\to\mathbb R^2 rotacija v ravnini okoli izhodišča za kot \varphi. Enotski vektor \begin{bmatrix} \cos(\alpha)\\ \sin(\alpha)\end{bmatrix} le-ta pošlje v \begin{bmatrix} \cos(\alpha+\varphi)\\ \sin(\alpha+\varphi)\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \cos(\varphi) & -\sin(\varphi) \\ \sin(\varphi) & \cos(\varphi)\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos(\alpha) \\ \sin(\alpha)\end{bmatrix}. Če z R označimo matriko R=\begin{bmatrix} \cos(\varphi) & -\sin(\varphi) \\ \sin(\varphi) & \cos(\varphi)\end{bmatrix}, potem je \mathcal R( \begin{bmatrix} x\\ y\end{bmatrix}) = R\begin{bmatrix} x\\ y\end{bmatrix}.

This entry was posted in Matrični račun (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s