Predavanje MatR.6: Več o (kvadratnih) matrikah

Lastnosti množenja matrik: naj bodo A,B,C matrike, za katere obstajajo produkti navedeni spodaj. Potem velja:

  1. (AB)C=A(BC);
  2. (A+B)C =AC+BC;
  3. A(B+C) =AB+AC;
  4. \forall \lambda\in\mathbb R:\; \lambda(AB)=A(\lambda B)=(\lambda A)B.

Transponiranje matrik

Naj bo A=[a_{ij}]\in M_{m\times n}(\mathbb R) poljubna matrika. Matrika B=[b_{ij}]\in M_{n\times m}(\mathbb R), katere elementi so b_{ij}=a_{ji}, se imenuje transponiranka od A in pišemo B=A^T.

Lastnosti transponiranja matrik: za vse matrike A,B ustreznih velikosti in vse skalarje \lambda velja

  1. (A^T)^T=A;
  2. (\lambda A)^T= \lambda A^T;
  3. (A+B)^T=A^T+B^T;
  4. (AB)^T=B^TA^T.

II.2. Algebra kvadratnih matrik

M_n(\mathbb R) je primer realne algebre. To pomeni, da sta na tej množici definirani dve notranji operaciji (seštevanje in množenje) ter zunanja operacija (množenje z realnimi skalarji). Vse te operacije so povezane z lastnostmi, ki smo si jih ogledali v prejšnjem razdelku.

Velja celo več: M_n(\mathbb R) je algebra z enoto. To pomeni, da obstaja I\in M_n(\mathbb R), da velja IA=AI=A za vse A\in M_n(\mathbb R). Namreč I=\begin{bmatrix} 1 \\ & 1 \\ & & \ddots \\ & & & 1\end{bmatrix} je n\times n matrika z 1 na diagonali in 0 povsod drugod.

Ta algebra pa ni komutativna, saj obstajajo matrike, ki med seboj ne komutirajo.

This entry was posted in Matrični račun (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s