Predavanje MatR.6: Več o (kvadratnih) matrikah

Lastnosti množenja matrik: naj bodo A,B,C matrike, za katere obstajajo produkti navedeni spodaj. Potem velja:

  1. (AB)C=A(BC);
  2. (A+B)C =AC+BC;
  3. A(B+C) =AB+AC;
  4. \forall \lambda\in\mathbb R:\; \lambda(AB)=A(\lambda B)=(\lambda A)B.

Transponiranje matrik

Naj bo A=[a_{ij}]\in M_{m\times n}(\mathbb R) poljubna matrika. Matrika B=[b_{ij}]\in M_{n\times m}(\mathbb R), katere elementi so b_{ij}=a_{ji}, se imenuje transponiranka od A in pišemo B=A^T.

Lastnosti transponiranja matrik: za vse matrike A,B ustreznih velikosti in vse skalarje \lambda velja

  1. (A^T)^T=A;
  2. (\lambda A)^T= \lambda A^T;
  3. (A+B)^T=A^T+B^T;
  4. (AB)^T=B^TA^T.

II.2. Algebra kvadratnih matrik

M_n(\mathbb R) je primer realne algebre. To pomeni, da sta na tej množici definirani dve notranji operaciji (seštevanje in množenje) ter zunanja operacija (množenje z realnimi skalarji). Vse te operacije so povezane z lastnostmi, ki smo si jih ogledali v prejšnjem razdelku.

Velja celo več: M_n(\mathbb R) je algebra z enoto. To pomeni, da obstaja I\in M_n(\mathbb R), da velja IA=AI=A za vse A\in M_n(\mathbb R). Namreč I=\begin{bmatrix} 1 \\ & 1 \\ & & \ddots \\ & & & 1\end{bmatrix} je n\times n matrika z 1 na diagonali in 0 povsod drugod.

Ta algebra pa ni komutativna, saj obstajajo matrike, ki med seboj ne komutirajo.

Advertisements
This entry was posted in Matrični račun (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s