Predavanje MatR.5: Matrike

Zgled: Standardna baza \mathbb R^n je e_1=(1,0,\ldots,0), e_2=(0,1,0,\ldots, 0), \ldots,e_n=(0,\ldots,0,1). Torej je \dim(\mathbb R^n)=n.

Zgled: Oglejmo si U=\{x\in\mathbb R^5 \mid x_1+x_5=0,x_3-x_4=0\}. Poljuben x\in U lahko zapišemo kot x=(x_1,x_2,x_3,x_3,-x_5)= x_1 (1,0,0,0,-1) + x_2(0,1,0,0,0)+x_3(0,0,1,-1,0). Iz enoličnosti tega zapisa sledi, da je \{(1,0,0,0,-1), (0,1,0,0,0),(0,0,1,-1,0)\} baza za U.

Problem: Kako preverimo, ali so neki vektorji v_1,\ldots,v_m linearno neodvisni? Poiščemo linearno kombinacijo?

Odgovor: Rešimo linearni sistem enačb. Več na vajah in v nadaljevanju. Zato bomo sedaj vpeljali matrike.

II. MATRIKE

II.1. Računske operacije na matrikah

Naj bosta m,n\in\mathbb N. Matrika je pravokotna tabela števil A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}, kjer a_{ij}\in\mathbb R za vse i,j. Matrika A ima m vrstic in n stolpcev. Pravimo, da gre za m\times n matriko. Množico vseh le-teh označimo z M_{m\times n}(\mathbb R) ali včasih \mathbb R^{m\times n}. Matrike iz M_{1\times n}(\mathbb R) in M_{n\times 1}(\mathbb R) identificiramo z vektorji \mathbb R^n.

Stolpci matrike A so vektorji, npr. A^{(k)}=\begin{bmatrix} a_{1k}\\ a_{2k} \\ \vdots \\ a_{mk}\end{bmatrix}\in\mathbb R^m. Podobno za vrstice A_{(k)}=\begin{bmatrix} a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kn}\end{bmatrix}\in\mathbb R^n.

Če je m=n, pravimo matriki kvadratna. V tem primeru pišemo M_n(\mathbb R)=M_{m\times n}(\mathbb R).

Seštevanje matrik

Naj bosta A,B\in M_{m\times n}(\mathbb R). Tedaj je njuna vsota A+B definirana kot m\times n matrika z elementi a_{ij}+b_{ij}: A+B=\begin{bmatrix} a_{11} +b_{11}& a_{12} +b_{12}& \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{mn}+b_{mn}\end{bmatrix}.

Lastnosti seštevanja matrik:

  1. komutativnost: za vse A,B\in M_{m\times n}(\mathbb R) velja A+B=B+A;
  2. asociativnost: za vse A,B,C\in M_{m\times n}(\mathbb R) velja A+(B+C)=(A+B)+C;
  3. obstoj nevtralnega elementa: obstaja O\in M_{m\times n}(\mathbb R), da za vsak A\in M_{m\times n}(\mathbb R) velja A+O=A;
  4. obstoj nasprotnega elementa: za vsak A\in M_{m\times n}(\mathbb R) obstaja -A\in M_{m\times n}(\mathbb R) z A+B=O.

Pri tem nevtralni element imenujemo ničelna matrika 0=\begin{bmatrix} 0& \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0\end{bmatrix}\in M_{m\times n}(\mathbb R), nasprotna matrika k A pa je -A=\begin{bmatrix} -a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1n} \\ -a_{21} & -a_{22} & \cdots & -a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{m1} & -a_{m2} & \cdots & -a_{mn}\end{bmatrix}\in M_{m\times n}(\mathbb R).

Množenje matrik s skalarjem

Naj bo A\in M_{m\times n}(\mathbb R) in \lambda\in\mathbb R. Potem je \lambda A matrika velikosti m\times n z elementi \lambda a_{ij}: \lambda A=\begin{bmatrix} \lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1n} \\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \cdots & \lambda a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & \cdots & \lambda a_{mn}\end{bmatrix}.

Lastnosti množenja matrike s skalarjem:

  1. \forall \lambda\in\mathbb R, \; \forall A,B\in M_{m\times n}(\mathbb R): \lambda (A+B)=\lambda A + \lambda B;
  2. \forall \lambda, \mu \in\mathbb R, \; \forall A\in M_{m\times n}(\mathbb R): (\lambda+\mu) A=\lambda A + \mu B;
  3. \forall \lambda, \mu \in\mathbb R, \; \forall A\in M_{m\times n}(\mathbb R): (\lambda\mu) A=\lambda (\mu A);
  4. \forall A\in M_{m\times n}(\mathbb R): 1 A=A.

Množenje matrik

Naj bo A\in M_{m\times n}(\mathbb R) in B\in M_{n\times r}(\mathbb R). Potem je AB matrika velikosti m\times r, katere (i,j)-ti element je enak c_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}= a_{i1}b_{1j}+ a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{in}b_{nj}.

Zgled: Naj bo A=\begin{bmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} in B=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \\ 2 & 0\end{bmatrix}. Potem je AB=\begin{bmatrix} 5 & 8 \\ -2 & -1 \\ -1 & 2\end{bmatrix}, BA pa ne obstaja.

Opomba: Naj bo A\in M_{1\times n}(\mathbb R) vrstica in B\in M_{n\times 1}(\mathbb R) stolpec. Potem je AB\in M_1(\mathbb R). Ker lahko tak A in B identificiramo z vektorji, je produkt AB matrik kar skalarni produkt vektorjev A,B. V splošnem pa je (i,j)-ti element AB skalarni produkt A_{(i)} in B^{(j)}.


    This entry was posted in Matrični račun (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

    Leave a Reply

    Fill in your details below or click an icon to log in:

    WordPress.com Logo

    You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

    Twitter picture

    You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

    Facebook photo

    You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

    Google+ photo

    You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

    Connecting to %s