svetovna seminarska turneja po sloveniji.okt 09

V tem tednu nadaljujem z nizom seminarskih predavanj. Nastopa prejšnji teden: predavanje na seminarju iz algebre v sredo, 21.oktobra (kjer sem uspel spredavat dobrih 5 strani mojega članka s Schweighoferjem o matričnih polinomih), in na skupnem seminarju s Primožem Moravcem v četrtek, 22. oktobra (kjer sem spredaval košček iz nastajajoče tri-lo-gi-je v \geq 4 delih s Heltonom in McCulloughom).  V skladu z dogovorom s tajnikom bom predaval v četrtek, 29.oktobra na njegovem seminarju za teorijo operatorjev.

Predavanje ima naslov Linearne matrične neenakosti, popolnoma pozitivne preslikave, in Ivan Vidav. Linearna matrična neenakost je neenakost podana z (afino) linearno funkcijo, katere koeficienti so (simetrične) matrike: L(x):=A_0+A_1 x_1+\cdots + A_n x_n \succeq 0. Množico rešitev \mathcal D_L:=\{x\in\mathbb R^n \mid L(x)\succeq 0\}\subseteq\mathbb R^n imenujemo spektraeder. Kot osnovna zgleda navedimo poliedre in krogle. V splošnem je spektraeder konveksna in bazno zaprta semialgebraična množica. Osnovni pomen teh množic je v konveksni optimizaciji, s katero pa se mi ne bomo ukvarjali. Mene v glavnem zanima množica matričnih rešitev linearnih matričnih neenakosti. Tukaj v L(x) vstavljamo n-terico simeričnih matrik X in pri tem za operacijo uporabimo tenzorski produkt: L(X)=A_0\otimes I + A_1\otimes X_1+\cdots A_n\otimes X_n. Množico vseh n-teric simetričnih matrik X (vseh velikosti!), za katere je L(X)\succeq 0, imenujemo nekomutativni spektraeder.

Osnovni problem, s katerim se ukvarjamo v nastajajočem članku s Heltonom in McCulloughom, so preslikave med le-temi. V seminarskem predavanju si bomo ogledali nekaj posebnih primerov. Dokazal bom linearni Positivstellensatz, ki opiše, kdaj je L'|_{\mathcal D_L}\succeq 0 (ekvivalentno: \mathcal D_{L'}\supseteq\mathcal D_L). Glavno orodje v tem dokazu so popolnoma pozitivne preslikave. Kot posledico bom podal algebraično karakterizacijo omejenosti (nekomutativnega) spektraedra: kvadratični modul, ki ga tvorijo vsi matrični polinomi, ki so pozitivni na spektraedru iz trivialnih razlogov, ima urejenostno enoto (je arhimedski). Za konec povejmo, da se v tem dokazu uporabi star izrek I. Vidava iz leta 1959.

Naslednji teden se moja turneja konca (?) v Mariboru v ponedeljek, 2.novembra na seminarju z delovnim naslovom aova (kjer bom predaval o pozitivnih nekomutativnih polinomih in njihovi povezavi z ureditvami na centralno enostavnih algebrah; to bo pregled mojega clanka z Ungerjem in Annals of Mathematics clanka Procesi-Schacher iz leta 1976).

This entry was posted in English, Pedagoško delo, Research, Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s